[논문 리뷰] Convexity of solutions and Brunn-Minkowski inequalities for Hessian equations in $\\R^3$

Paolo Salani|arXiv (Cornell University)|2011. 01. 03.

Geometric Analysis and Curvature Flows인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 $ℝ^3$에서 헤시안 방정식의 해에 대한 새로운 볼록성 성질을 Minkowski 덧셈을 이용해 규명하며, $S_2(D^2u) = \Lambda_2(\Omega)(-u)^2$인 경우 $v = -\log(-u)$가 볼록하고, $S_2(D^2u) = 1$인 경우 $v = -\sqrt{-u}$가 볼록하다는 것을 증명한다. 또한 $2$-탄성 강성 기능적 $τ_2(\Omega)$에 대한 Brunn-Minkowski 부등식을 증명하여, 3차원에서 완전 비선형 헤시안 연산자로 고전적 부등식을 확장한다.

ABSTRACT

By using Minkowski addition of convex functions, we prove convexity and rearrangement properties of solutions to some Hessian equations in $\\R^3$ and Brunn-Minkowski and isoperimetric inequalities for related functionals.

연구 동기 및 목표

• 3차원에서 $k=2$인 헤시안 방정식 $S_k(D^2u) = f$의 해에 대한 볼록성 성질을 확립하고, 거칠기 유형 비선형성을 가진 딜리클레 문제에 특히 초점을 맞춘다.
• 3차원에서 $k$-탄성 강성 기능적 $\tau_k(\Omega)$에 대해 Brunn-Minkowski 및 등주 부등식을 확장한다.
• 상수 랭크 기법의 거시적 대체로 작용하는 Minkowski 덧셈을 이용한 기존 볼록성 결과의 새로운 증명을 제공한다.
• 대표 공식과 변분 방법을 통해 $2$-탄성 강성 기능적 $\tau_2(\Omega)$에 대한 Minkowski 문제의 가능성을 탐색한다.

제안 방법

• 변환된 해 $v = -\log(-u)$ 및 $v = -\sqrt{-u}$의 볼록성 분석을 위해 볼록 함수의 Minkowski 덧셈을 사용한다.
• 경계 $\partial\Omega$에서 0이 되는 $k$-볼록 함수에 대한 하한을 취해 $k$-탄성 강성 기능적 $\tau_k(\Omega)$를 정의하고 연구한다.
• 단위 구면에서의 지지 함수와 $(n-k)$-면적 측도를 이용해 $\tau_2(\Omega)$의 표현 공식을 유도하며, 이를 경계에서의 해의 기울기와 연결한다.
• 변환된 해의 볼록성과 Minkowski의 혼합 부피 이론을 활용하여 $\tau_2(\Omega)$에 대한 Brunn-Minkowski 부등식을 확립한다.
• 비선형성의 더 넓은 클래스인 $S_2(D^2u) = \lambda (-u)^p$ ($p \in (0,2)$)에 대해 일반화하여, $v = -(-u)^{(2-p)/4}$의 볼록성을 증명한다.
• 기하학적 구조가 $C^{3,1}$ 경계와 양의 평균 곡률을 갖는 $\mathcal{C}_1^+$ 도메인인 경우를 해의 존재성과 정(regularity)에 대한 자연스러운 클래스로 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 3차원에서 $\mathcal{C}_1^+$ 도메인 $\Omega \subset \mathbb{R}^3$ 내에서 $S_2(D^2u) = \Lambda_2(\Omega)(-u)^2$인 해 $u$에 대해 $v = -\log(-u)$가 볼록한가?
• RQ2 3차원에서 $\mathcal{C}_1^+$ 도메인 $\Omega \subset \mathbb{R}^3$ 내에서 $S_2(D^2u) = 1$인 해 $u$에 대해 $v = -\sqrt{-u}$가 볼록한가?
• RQ3 3차원에서 $2$-탄성 강성 기능적 $\tau_2(\Omega)$에 대해 Brunn-Minkowski 부등식을 확립할 수 있는가?
• RQ4 Rogers-Shephard 부등식이 $\tau_2(D\Omega)$에 대해 성립하는가? 즉, 어떤 일반 상수 $C$에 대해 $\tau_2(D\Omega) \leq C \tau_2(\Omega)$가 성립하는가?
• RQ5 유도된 표현 공식을 이용해 $2$-탄성 강성 기능적 $\tau_2(\Omega)$에 대해 Minkowski 문제를 구성할 수 있는가?

주요 결과

• $\mathcal{C}_1^+$ 도메인 $\Omega \subset \mathbb{R}^3$ 내에서 $S_2(D^2u) = \Lambda_2(\Omega)(-u)^2$인 해 $u$에 대해 함수 $v = -\log(-u)$는 볼록하다.
• $\mathcal{C}_1^+$ 도메인 $\Omega \subset \mathbb{R}^3$ 내에서 $S_2(D^2u) = 1$인 해 $u$에 대해 함수 $v = -\sqrt{-u}$는 볼록하다.
• $p \in (0,2)$인 경우, $\mathcal{C}_1^+$ 도메인에서 $S_2(D^2u) = \lambda (-u)^p$인 해에 대해 함수 $v = -(-u)^{(2-p)/4}$는 볼록하다.
• $2$-탄성 강성 기능적 $\tau_2(\Omega)$에 대해 Brunn-Minkowski 부등식이 성립한다. 즉, $\Omega_0, \Omega_1 \in \mathcal{C}_1^+$에 대해 $\tau_2(\Omega_0 + \Omega_1)^{1/10} \geq \tau_2(\Omega_0)^{1/10} + \tau_2(\Omega_1)^{1/10}$이다.
• $\tau_2(\Omega)$에 대한 표현 공식이 유도되었으며, $\tau_2(\Omega) = \frac{1}{10} \int_{S^2} h_\Omega(X) |Du(\nu_\Omega^{-1}(X))|^3 d\sigma^\Omega_1(X)$로 표현되며, 이를 통해 경계 데이터와 곡률 측도와 연결된다.