[논문 리뷰] Convexity properties of presymplectic moment maps

Yi Lin, Reyer Sjamaar|arXiv (Cornell University)|2017. 06. 01.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 3인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 군 작용에 대한 '청소성( cleanness)' 조건을 만족할 경우, 선형형식이 아닌 미분형식에 대한 모멘트 맵에 대해 볼록성 정리를 확립한다. 이는 null 분할이 방해하지 않는 한, 모멘트 다면체의 볼록성 및 Morse-Bott 성질과 같은 주요 심플렉틱 기하학 결과를 복원한다. 주요 기여는 모멘트 맵이 심플렉틱 경우와 유사한 볼록성 및 Morse-이론적 성질을 유지하도록 보장하는 충분조건인 '청소성' 조건을 제안하는 것이다.

ABSTRACT

The convexity and Morse-theoretic properties of moment maps in symplectic geometry typically fail for presymplectic manifolds. We find a condition on presymplectic moment maps that prevents these failures. Our result applies for instance to Prato's quasifolds and to Hamiltonian actions on contact manifolds and cosymplectic manifolds.

연구 동기 및 목표

• 심플렉틱 기하학에서 모멘트 맵에 대한 볼록성 정리가 선형형식이 아닌 미분형식 다양체로 어떻게 일반화되는지 조건을 규명하는 것.
• 비자명한 null 분할이 존재함으로써 표준적인 볼록성 및 Morse-이론적 결과가 실패하는 선형형식이 아닌 설정에서 이러한 실패를 체계적으로 방지하는 방법을 제시하는 것.
• 군 작용에 대한 '청소성' 조건을 도입하고, 이를 통해 모멘트 맵이 볼록성 및 Morse-Bott 행동을 유지하는 데 필요한 충분조건으로 공식화하는 것.
• 준다도형, 접촉 다양체 및 공심플렉틱 다양체와 같은 더 넓은 기하 대상으로 결과를 일반화하는 것.
• 미래 연구에서 에테일 심플렉틱 스택의 내재된 불변량으로서 모멘트 다면체를 해석하기 위한 기초를 마련하는 것.

제안 방법

• 닫힌 2형식이 일정한 질량을 가지며, 모멘트 맵이 $ d\tilde{\Phi}^\xi = \iota(\xi_X)\omega $ 를 만족하는 다양체로 선형형식 해밀토니안 $ G $-다양체를 정의한다.
• 청소성 조건을 도입: 각 점에서 리 대칭의 영 이상이 군 궤도와 분할의 교차의 접선 공간을 생성한다.
• 청소성 조건 하에서 모멘트 맵의 섬유가 연결되어 있고, 모멘트 맵이 열린 사상임을 증명함으로써 위상적 제어를 확보한다.
• Weyl 침대와의 교차에서 모멘트 맵의 상이 닫힌 볼록 다면체 집합임을 증명한다.
• 청소성 조건 하에서 모멘트 맵의 성분이 Morse-Bott 함수임을 보이며, 심플렉틱 경우의 핵심 결과를 일반화한다.
• 국소 정규형 정리( local normal form theorem)를 사용하여 각 점 주변의 표준 모델을 포함하는 $ G $-불변 이웃을 구성함으로써, 다양체의 계승이 표준 국소 모델과 동형임을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 심플렉틱 기하학에서 모멘트 맵에 대한 볼록성 정리가 선형형식이 아닌 미분형식 다양체로 어떻게 확장될 수 있는가?
• RQ2 선형형식이 아닌 설정에서 볼록성 및 Morse-Bott 성질이 실패하는 것을 체계적으로 방지할 수 있는 방법은 무엇인가?
• RQ3 null 분할이 표준 심플렉틱 결과를 방해하는 역할을 하며, 이를 어떻게 제어할 수 있는가?
• RQ4 적절한 조건 하에서 선형형식이 아닌 기하학에서 모멘트 다면체가 볼록 다면체 집합으로 특징지어질 수 있는가?
• RQ5 모멘트 다면체는 어느 정도 다양체의 분할 공간 또는 스택화된 몫에 의해 결정되는가?

주요 결과

• 청소성 및 고립성 조건 하에서 모멘트 맵의 상 $ \Delta(X) = \Phi(X) \cap C $ 는 닫힌 볼록 다면체 집합이다.
• 모멘트 맵의 섬유는 연결되어 있으며, 사상 $ \Phi: X \to \Phi(X) $ 는 열린 사상이다.
• 모멘트 다면체 $ \Delta(X) $ 가 유리수일 필요충분조건은 null 부분군 $ N(X) $ 가 닫혀 있는 것이다.
• 청소성 조건 하에서 선형형식 모멘트 맵의 성분은 Morse-Bott 함수이며, 심플렉틱 기하학의 기초 결과를 일반화한다.
• 국소 정규형 정리에 의해, 임의의 점 주변의 $ G $-불변 이웃은 심플렉틱 슬라이스와 몫 자료를 포함하는 표준 모델과 동형임을 보였다.
• 미래 연구 [13] 에서 보여지듯이, 모멘트 다면체의 구조는 에테일 심플렉틱 스택 $ \mathscr{X} $ 와 스택화된 군 $ \mathscr{G} $ 와 내재적으로 관련되어 있다.