[논문 리뷰] Convoluted convolved Fibonacci numbers

Pieter Moree|ArXiv.org|2003. 11. 12.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 5인용 수 24

한 줄 요약

이 논문은 피보나치 수열의 생성함수의 윌트 변환을 통해 정의된 '복합된 복합 피보나치 수' $G_{j+1}^{(r)}$와 '부호 뒤집힌 복합된 복합 피보나치 수' $H_{j+1}^{(r)}$를 소개하고 분석한다. 이 수열들은 일반 피보나치 수와 루카스 수를 이용한 명시적 공식으로 표현되며, 리 대수의 차원 공식을 활용해 정수성과 음이 아닌 성질을 증명한다. 또한 이들 결과는 해석적 수론에서 등장하는 상수 $B_{\rho}$의 고정밀도 수치 계산에 응용된다.

ABSTRACT

The convolved Fibonacci numbers F_j^(r) are defined by (1-z-z^2)^{-r}=\sum_{j>=0}F_{j+1}^(r)z^j. In this note some related numbers that can be expressed in terms of convolved Fibonacci numbers are considered. These numbers appear in the numerical evaluation of a certain number theoretical constant. This note is a case study of the transform {1/n}\sum_{d|n}mu(d)f(z^d)^{n/d}, with f any formal series and mu the Moebius function), which is studied in a companion paper entitled `The formal series Witt transform'.

연구 동기 및 목표

• 피보나치 수열의 생성함수의 윌트 변환으로 새로운 수열 $G_{j+1}^{(r)}$와 $H_{j+1}^{(r)}$를 정의하고 연구한다.
• 이들 수열을 피보나치 수와 루카스 수로 표현하는 명시적 공식을 수립한다.
• 리 대수의 차원 공식을 활용하여 $G_{j+1}^{(r)}$가 음이 아닌 정수이고, $H_{j+1}^{(r)}$가 부호가 $(-1)^{r-1}$인 비영인 정수임을 증명한다.
• 이 결과들을 활용하여 소수 모듈로에서의 곱셈적 순서 연구에서 나타나는 상수 $B_{\rho}$의 고정밀도 수치 평가를 수행한다.

제안 방법

• 생성함수 $f(z) = 1/(1 - z - z^2)$과 $f(z) = -1/(1 - z - z^2)$에 대한 윌트 변환 계수로 $G_{j+1}^{(r)}$와 $H_{j+1}^{(r)}$를 정의한다.
• 윌트 변환 공식 ${\cal W}_f^{(r)}(z) = \frac{1}{r} \sum_{d|r} \mu(d) f(z^d)^{r/d}$를 활용하여 $G_{j+1}^{(r)}$와 $H_{j+1}^{(r)}$를 복합 피보나치 수로 표현하는 식을 유도한다.
• 자유 리 대수와의 연결을 통해 $G_{j+1}^{(r)}$와 $H_{j+1}^{(r)}$가 각각 동차 부분공간 $M(n_1,\dots,n_r)$과 $V_1(n_1,\dots,n_r)$의 차원 합과 일치함을 식별한다.
• 윌트의 자유 리 대수 차원 공식을 활용하여 $G_{j+1}^{(r)}$의 정수성과 음이 아닌 성질, $H_{j+1}^{(r)}$의 부호 조건을 유추한다.
• 이 결과들을 응용하여 상수 $B_{\chi}$를 디리클레 L시리즈를 포함하는 무한곱으로 표현하며, 지수는 $G_{j-3r+1}^{(r)}$와 $(-1)^{r-1}H_{j-3r+1}^{(r)}$로 주어져 고정밀도 평가가 가능하도록 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 피보나치 수열의 생성함수에 대한 윌트 변환은 어떻게 복합 피보나치 수와 관련된 새로운 정수 수열을 정의하는 데 활용될 수 있는가?
• RQ2 새로운 수열 $G_{j+1}^{(r)}$와 $H_{j+1}^{(r)}$는 고전적 피보나치 수와 루카스 수와 어떤 명시적 관계를 가지는가?
• RQ3 왜 $G_{j+1}^{(r)}$는 음이 아닌 정수이며, 이러한 성질의 대수적 또는 조합론적 이유는 무엇인가?
• RQ4 이 수열들을 활용하여 해석적 수론에서 나타나는 상수 $B_{\chi}$를 고정밀도로 표현하고 평가할 수 있는가?
• RQ5 $j$와 $r$에 대한 함수로서 $G_{j+1}^{(r)}$와 $H_{j+1}^{(r)}$의 단조성 및 구조적 성질은 무엇인가?

주요 결과

• 수열 $G_{j+1}^{(r)}$는 음이 아닌 정수이며, $G_{j+1}^{(r)} = \sum_{k=0}^{[j/2]} M(r,k,j-2k)$로 표현되며, 여기서 $M(n_1,\dots,n_r)$은 주어진 다중도수를 가진 비주기어의 수를 나타낸다.
• 수열 $H_{j+1}^{(r)}$는 부호가 $(-1)^{r-1}$인 비영인 정수이며, $H_{j+1}^{(r)} = \sum_{k=0}^{[j/2]} V_1(r,k,j-2k)$로 표현되며, 여기서 $V_1$은 $M$의 부호가 부여된 변형이다.
• $r \geq 3$일 때 $G_{j+1}^{(r)}$는 $j$에 대해 엄격히 증가하며, $r = 1,2$일 경우 비감소적이며, 이 경우 $j \geq 2$에서 엄격히 증가한다.
• $j \geq 5$일 때 $G_{j+1}^{(r)}$는 $r$에 대해 엄격히 증가하며, $j \geq 3$일 경우 비감소하며, 최소한 하나의 엄격한 증가항이 존재한다.
• 상수 $B_{\chi}$는 $A \cdot \frac{L(2,\chi)}{L(3,-\chi)} \cdot \prod_{r=1}^{\infty} \prod_{j=3r+1}^{\infty} L(j,(-\chi)^r)^{-e(j,r)}$로 표현되며, 여기서 $e(j,r) = G_{j-3r+1}^{(r)}$로 주어져 기존의 L시리즈 값으로 고정밀도 평가가 가능하다.
• 또한 상수 $B_{\chi}$는 $A \cdot \frac{L(2,\chi)L(3,\chi)}{L(6,\chi^2)} \cdot \prod_{r=1}^{\infty} \prod_{j=3r+1}^{\infty} L(j,\chi^r)^{f(j,r)}$로도 표현되며, $f(j,r) = (-1)^{r-1} H_{j-3r+1}^{(r)}$로 주어져 두 표현 방식 간의 일관성이 확인된다.