[논문 리뷰] Convoluted generalized white noise, Schwinger functions and their continuation to Wightman functions

Sergio Albeverio, Hanno Gottschalk외 1명|ArXiv.org|2004. 09. 21.

Spectral Theory in Mathematical Physics참고 문헌 17인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 $\alpha \in (0,1)$ 에 대해 $(-\Delta + m_0^2)^{-\alpha}$ 에서 유도된 커널을 사용하여 일반화된 화이트 노이즈와의 컨볼루션을 통해 유클리드 랜덤 필드를 구성하고, 그들의 슈윙거 함수와 절단된 슈윙거 함수를 도출하며, 미ン코프스키 공간에서 와이트먼 함수로의 해석적 계속을 수행한다. 주요 기여는 스펙트럼, 국소성, 클러스터 성질을 만족하는 상대론적 양자장이론 분포를 엄밀히 유도한 것으로, 반사 긍정성과 산산이 찢어진 이론에 대한 부분적인 결과도 포함되어 있다.

ABSTRACT

We construct Euclidean random fields $X$ over $\R^d$, by convoluting generalized white noise $F$ with some integral kernels $G$, as $X=G* F$. We study properties of Schwinger (or moment) functions of $X$. In particular, we give a general equivalent formulation of the cluster property in terms of truncated Schwinger functions which we then apply to the above fields. We present a partial negative result on the reflection positivity of convoluted generalized white noise. Furthermore, by representing the kernels $G_\a$ of the pseudo--differential operators $(-\D + m^2_0)^{-α}$ for $α\in (0,1)$ and $m_0>0$ as Laplace transforms we perform the analytic continuation of the (truncated) Schwinger functions of $X=G_α* F$, obtaining the corresponding (truncated) Wightman distributions on Minkowski space which satisfy the relativistic postulates on invariance, spectral property, locality and cluster property. Finally we give some remarks on scattering theory for these models.

연구 동기 및 목표

• 일반화된 화이트 노이즈 $F$ 와 $(-\Delta + m_0^2)^{-\alpha}$ 에서 유도된 적분 커널 $G$ 를 사용하여 유클리드 랜덤 필드 $X = G * F$ 를 구성한다.
• 이들 필드의 슈윙거 함수를 연구하고, 절단된 슈윙거 함수를 사용하여 클러스터 성질을 특성화한다.
• 컨볼루션된 일반화된 화이트 노이즈 필드에 대한 반사 긍정성을 조사하며, 부분적인 부정적인 결과를 도출한다.
• 유클리드 슈윙거 함수(또는 절단된 슈윙거 함수)를 해석적 계속을 통해 미ン코프스키 공간 상의 와이트먼 분포로 변환하여 상대론적 불변성, 스펙트럼 조건 및 국소성을 확보한다.
• 특히 하아그–루엘 이론과 상태의 점점 가까워지는 행동의 맥락에서, 도출된 모델에 대한 산산이 찢어진 이론을 탐색한다.

제안 방법

• 커널 $G_\alpha = (-\Delta + m_0^2)^{-\alpha}$ 를 $\alpha \in (0,1)$ 에 대해 라플라스 변환으로 표현하여 해석적 계속을 가능하게 한다.
• 라플라스 표현을 사용하여 절단된 슈윙거 함수를 라플라스 변환으로 표현함으로써, 미ン코프스키 공간으로의 계속을 촉진한다.
• 해석적 계속 절차를 적용하여 유클리드 슈윙거 함수를 상대론적 와이트먼 분포로 변환하고, 와이트먼 공리계를 만족하는지를 확인한다.
• 장의 장거리 행동을 분석하기 위해 클러스터 성질을 절단된 슈윙거 함수의 관점에서 특성화한다.
• 시간 진동에 따른 상태 $\Psi(t)$ 의 점점 가까워지는 행동을 분석하여, 중첩되지 않는 속도 공간 영역의 경우 자유 상태로 수렴함을 보인다.
• 상태 공간의 부정적 계량 구조를 다루기 위해 크레인 공간 구조를 사용하여, 부정적 계량 공간에서 수정된 와이트먼 공리계와의 일관성을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 컨볼루션된 일반화된 화이트 노이즈 필드의 슈윙거 함수는 상대론적 불변성과 스펙트럼 조건을 유지하면서도, 미ン코프스키 공간 상의 와이트먼 함수로 해석적 계속이 가능한가?
• RQ2 이들 필드의 절단된 슈윙거 함수에서 클러스터 성질은 어떻게 나타나며, 일반적인 형태로 특성화할 수 있는가?
• RQ3 특히 $\alpha \in (0,1)$ 에서 컨볼루션된 일반화된 화이트 노이즈 필드에 대해 반사 긍정성 성질이 만족되는가?
• RQ4 산산이 찢어진 상태의 행동은 점점 가까워지는 영역에서 어떻게 되는가? 이 모델은 하아그–루엘 유형의 산산이 찢어진 이론을 지원하는가?
• RQ5 와이트먼 분포가 완전한 와이트먼 공리계를 만족하는 조건은 무엇인가? 특히 노름의 양성 조건은 어떻게 되는가?

주요 결과

• 커널 $G_\alpha = (-\Delta + m_0^2)^{-\alpha}$ 의 라플라스 표현을 통해 절단된 슈윙거 함수의 해석적 계속이 이루어지며, 이는 상대론적 불변성과 스펙트럼 조건을 보장한다.
• ‘명확한 질량’을 가진 절단된 슈윙거 함수는 라플라스 변환으로 표현되며, 이는 미ン코프스키 공간으로의 계속과 명시적인 푸리에 변환된 와이트먼 분포 유도를 가능하게 한다.
• $\alpha = \frac{1}{2}$ 인 경우, 안정된 1-입자 상태가 존재하여 하아그–루엘 이론의 적용이 가능하고, 점점 가까워지는 영역에서 $\|\Psi(t)\|^2$ 의 양성 조건이 확립된다.
• 일반적으로 $t \to \pm\infty$ 일 때, 노름 $\|\Psi(t)\|^2$ 이 $\|\Psi(0)\|^2_g$ 로 수렴하며, 수렴 속도는 일반적으로 $\sim (1+|t|)^{-3/2}$ 이고, 중첩되지 않는 속도 공간 지원의 경우 더 빠르게 수렴한다.
• 이 모델은 상태 공간에서의 노름의 양성 조건를 제외한 모든 와이트먼 공리계를 만족한다. 이 조건은 일반적으로 실패하거나 불확실하며, $F$ 가 가우시안일 경우에만 성립한다.
• 와이트먼 분포는 힐베르트 구조 조건을 충족하며, 밀도 있는 부분공간 $\underline{{\cal S}}$ 상에서 연속 자기수반 연산자 $\eta$ 가 존재하여 $\eta^2 = 1$ 이고 $<\cdot,\cdot> = (\cdot, \eta \cdot)$ 를 만족한다.