[논문 리뷰] Convolution and involution on function spaces of homogeneous spaces

Arash Ghaani Farashahi|arXiv (Cornell University)|2011. 12. 31.

Advanced Banach Space Theory참고 문헌 8인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 국소적으로 컴acts한 군 $G$와 컴acts한 부분군 $H$에 대해 $L^1(G/H, \mu)$에 잘 정의된 컨볼루션을 설정하며, $\mu$가 상대적으로 불변 측도일 때 이 공간이 바나흐 대수로 변환됨을 보여준다. 또한 $L^1(G/H, \mu)$에 일반화된 코어풀루션을 도입하여, $G$-불변 측도가 존재할 때 $L^1(G)$에서 $L^1(G/H, \mu)$로의 $*$-호모모르피즘의 존재 조건을 $H$가 $G$의 정규부분군일 때로 특성화하며, 좌우 코셋 공간 간에 등거리 반호모모르피즘을 구축한다.

ABSTRACT

Let $G$ be a locally compact group and also let $H$ be a compact subgroup of $G$. It is shown that, if $μ$ is a relatively invariant measure on $G/H$ then there is a well-defined convolution on $L^1(G/H,μ)$ such that the Banach space $L^1(G/H,μ)$ becomes a Banach algebra. We also find a generalized definition of this convolution for other $L^p$-spaces. Finally, we show that various types of involutions can be considered on $G/H$.

연구 동기 및 목표

• 국소적으로 컴acts한 군 $G$와 컴acts한 부분군 $H$에 대해 동차공간 $G/H$에 대해 $L^1(G/H, \mu)$에 일致한 컨볼루션 연산을 정의하는 것.
• 연속성과 조밀성의 논리를 사용하여 $\mathcal{C}_c(G/H)$에서 $L^1(G/H, \mu)$로 컨볼루션을 확장하는 것.
• 특히 $G$-불변 측도와 상대적으로 불변 측도 하에서 $L^1(G/H, \mu)$에 존재하는 코어풀루션의 존재성과 구조를 조사하는 것.
• $L^1(G)$에서 $L^1(G/H, \mu)$로의 몫사상 $T_H: L^1(G) \to L^1(G/H, \mu)$가 $*$-호모모르피즘으로서 작용할 조건을 특성화하며, 이는 $H$가 $G$에서 정규부분군임과 관련된다.
• rho-함수와 측도 변환을 이용하여 좌우 코셋 공간 $G/_lH$와 $G/_rH$ 사이에 등거리 반호모모르피즘을 구축하는 것.

제안 방법

• $\mathcal{C}_c(G)$에서 $\mathcal{C}_c(G/H)$로의 전사 선형사상 $T_H$를 사용하여, $\mathcal{C}_c(G)$로부터의 역상에 의해 $\mathcal{C}_c(G/H)$에 컨볼루션을 정의한다.
• $\mathcal{C}_c(G/H)$가 $L^1(G/H, \mu)$에 조밀하므로, 연속성에 기반하여 컨볼루션을 $L^1(G/H, \mu)$로 확장한다.
• $L^1(G)$의 표준 코어풀루션과 몫사상 $T_H$를 이용하여, $L^1(G/_lH, \mu_l)$에서 $L^1(G/_rH, \mu_r)$로의 일반화된 코어풀루션 $^*_{l,r}$를 정의한다.
• $ (\varphi \ast_l \psi)^{*_{l,r}} = \psi^{*_{l,r}} \ast_r \varphi^{*_{l,r}} $와 $ \|\varphi^{*_{l,r}}\| = \|\varphi\| $를 확인하여, $^*_{l,r}$가 등거리 반호모모르피즘임을 증명한다.
• rho-함수 $\rho$를 사용하여 $G/H$ 상에 상대적으로 불변 측도 $\mu$를 구성하며, $ \int_{G/H} P_H(f) d\mu = \int_G f(x)\rho(x) dx $를 확보한다.
• $ d\mu_x(yH) = \frac{\rho(xy)}{\rho(y)} d\mu(yH) $의 관계를 적용하여 측도 변환을 정의하고 코어풀루션 구성에 기여한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 상대적으로 불변 측도 $\mu$가 $G/H$에 대해 $L^1(G/H, \mu)$의 컨볼루션을 잘 정의하기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ2 $T_H: L^1(G) \to L^1(G/H, \mu)$가 $*$-호모모르피즘으로 작용하기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ3 $H$가 $G$에서 정규부분군이 아닐 경우 $L^1(G/H, \mu)$에 대해 코어풀루션을 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ4 좌우 코셋 공간 $G/_lH$와 $G/_rH$ 사이의 등거리 반호모모르피즘 관계는 어떠한가?
• RQ5 $L^1(G/H, \mu)$의 코어풀루션은 $G/H$의 군 구조에 의존하지 않고 독립적으로 구성될 수 있는가?

주요 결과

• 상대적으로 불변 측도 $\mu$가 $G/H$에 대해 정의될 때, 정의된 컨볼루션을 갖춘 공간 $L^1(G/H, \mu)$는 바나흐 대수가 된다.
• $T_H: L^1(G) \to L^1(G/H, \mu)$는 $H$가 $G$의 정규부분군이면서만 연속적인 $*$-호모모르피즘이다.
• $L^1(G/_lH, \mu_l)$에서 $L^1(G/_rH, \mu_r)$로의 등거리 반호모모르피즘 $^*_{l,r}$가 구성되며, $ (\varphi \ast_l \psi)^{*_{l,r}} = \psi^{*_{l,r}} \ast_r \varphi^{*_{l,r}} $를 만족한다.
• $^*_{l,r}$는 $ \|\varphi^{*_{l,r}}\|_{L^1(G/_rH, \mu_r)} = \|\varphi\|_{L^1(G/_lH, \mu_l)} $를 만족하여 등거리임을 증명한다.
• $H$가 정규부분군일 경우 좌우 코셋 공간이 일치하며, 코어풀루션 유형 사상은 $L^1(G/H, \mu)$의 표준 코어풀루션으로 간소화된다.
• 측도 $\mu$의 상대적 불변성을 확보하기 위해 rho-함수 $\rho$를 사용하며, 이는 $G$의 하르 측도와의 호환성을 보장한다.