[논문 리뷰] Convolution and Product Theorem for the Special Affine Fourier Transform

Ayush Bhandari, Ahmed I. Zayed|arXiv (Cornell University)|2015. 06. 24.

Mathematical Analysis and Transform Methods참고 문헌 19인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 특수 아핀 푸리에 변환(SAFT)을 위한 두 가지 새로운 컨volution 연산을 제안하며, 변환 도메인에서 컨볼루션과 곱셈 간의 완전한 이원성을 수립하여 이전 연구에서의 모순을 해결한다. 주요 기여는 푸리에 변환의 곱 공식을 위상 인자 없이 유지하는 컨볼루션 정리로, 이는 일관된 정방향 및 역방향 SAFT 연산을 가능하게 한다.

ABSTRACT

The Special Affine Fourier Transform or the SAFT generalizes a number of well known unitary transformations as well as signal processing and optics related mathematical operations. Unlike the Fourier transform, the SAFT does not work well with the standard convolution operation. Recently, Q. Xiang and K. Y. Qin introduced a new convolution operation that is more suitable for the SAFT and by which the SAFT of the convolution of two functions is the product of their SAFTs and a phase factor. However, their convolution structure does not work well with the inverse transform in sofar as the inverse transform of the product of two functions is not equal to the convolution of the transforms. In this article we introduce a new convolution operation that works well with both the SAFT and its inverse leading to an analogue of the convolution and product formulas for the Fourier transform. Furthermore, we introduce a second convolution operation that leads to the elimination of the phase factor in the convolution formula obtained by Q. Xiang and K. Y. Qin.

연구 동기 및 목표

• 정방향 변환의 곱의 역변환이 변환의 컨볼루션을 산출하지 못하는 이전 SAFT 컨볼루션 정의의 모순을 해결하기 위해.
• SAFT와 그 역변환 모두와 호환되는 컨볼루션 연산을 개발하여, 컨볼루션 정리가 대칭적으로 성립하도록 하기 위해.
• Xiang와 Qin의 연구에서 나타나는 위상 인자를 제거하기 위해.
• 푸리에 변환의 컨볼루션-곱 이원성을 SAFT가 표현하는 유니터리 변환의 더 넓은 계열으로 일반화하기 위해.
• SAFT 기반 신호 처리에서 샘플링 및 근사 이론과 연결된 반산술적 컨볼루션 구조의 기초를 제공하기 위해.

제안 방법

• 위상 인자가 없는, 변환의 컨볼루션의 SAFT가 두 SAFT의 곱과 일치하도록 보장하는 수정된 커널을 통한 새로운 컨볼루션 연산을 제안한다.
• Xiang와 Qin의 정의에서 나타나는 위상 인자를 제거하여 더 깔끔한 곱 공식을 달성하는 두 번째 컨볼루션 연산을 유도한다.
• 시간 도메인에서 두 함수의 곱이 SAFT 도메인에서 컨볼루션에 대응함을 보여주는 곱 정리를 수립한다.
• SAFT의 커널 표현을 매개변수 $ a, b, c, d, p, q $ 를 통해 정의함으로써 변환과 그 역변환의 유니터리성을 보장한다.
• 새로운 컨볼루션 구조가 컨볼루션-곱 이원성 원리를 만족함을 증명한다: 한 도메인에서의 컨볼루션은 다른 도메인에서의 곱에 대응한다.
• 특수한 경우들, 예를 들어 푸리에, 분수 포아르, 선형 캐논리컬 변환 등에 대해 알려진 결과와의 일관성을 보여줌으로써 결과를 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 SAFT에 대해 어떤 컨볼루션 연산을 정의할 수 있는가? 이때 변환의 컨볼루션은 위상 인자가 없이 두 변환의 곱과 일치해야 한다.
• RQ2 기존의 Xiang와 Qin의 컨볼루션 구조가 왜 역 SAFT와 교환되지 않으며, 이를 어떻게 수정할 수 있는가?
• RQ3 클래식한 푸리에 컨볼루션 정리와 유사한 통일된 컨볼루션 이론 프레임워크를 SAFT에 구축할 수 있는가?
• RQ4 두 함수의 시간 도메인 곱과 그들의 SAFT 표현 간의 관계는 무엇인가?
• RQ5 제안된 컨볼루션 연산은 푸리에, 분수 포아르, 선형 캐논리컬 변환에 대한 기존 결과를 어떻게 일반화하는가?

주요 결과

• 제안된 컨볼루션 연산은 $ \mathscr{T}_{\text{SAFT}}[f \star g](\omega) = \mathscr{T}_{\text{SAFT}}[f](\omega) \mathscr{T}_{\text{SAFT}}[g](\omega) $ 를 보장하여 위상 인자가 없는 대칭적인 컨볼루션 정리를 달성한다.
• 새로운 컨볼루션 구조는 역 SAFT와 일관되므로, 두 SAFT의 곱의 역변환이 원래 함수의 컨볼루션을 산출한다.
• Xiang와 Qin의 정의에서 나타나는 위상 인자를 제거하여 더 단순화된 컨볼루션 공식을 달성하는 두 번째 컨볼루션 연산이 도입된다.
• 곱 정리가 수립되었으며, 시간 도메인에서 두 함수의 곱이 SAFT 도메인에서 컨볼루션에 대응함을 보여, 이원성이 완성된다.
• 결과는 푸리에, 분수 포아르, 선형 캐논리컬, 오프셋 변환을 포함한 SAFT 가족의 모든 유니터리 변환으로 일반화된다.
• 이 프레임워크는 SAFT 기반 신호 처리에서 샘플링 및 근사 이론과 연결된 향후 반산술적 컨볼루션 구조의 개발을 가능하게 한다.