[논문 리뷰] Convolutional codes from units in matrix and group rings

Ted Hurley|ArXiv.org|2007. 11. 22.

Coding theory and cryptography참고 문헌 12인용 수 19

한 줄 요약

이 논문은 행렬 및 군환에서의 로렌트 급수의 단위를 사용하여 컨volution 코드를 구성하는 새로운 대수적 방법을 제시한다. 특히 군환을 행렬환으로 활용하여 고정된 자유 거리가 보장되는 코드를 생성한다. 주요 기여는 자유 거리를 명시적으로 계산할 수 있는 체계적인 컨volution 코드 설계를 가능하게 하는 대수적 프레임워크를 제공하는 것으로, 이는 이전의 컴퓨터 기반 탐색 방법의 한계를 초월한다.

ABSTRACT

A general method for constructing convolutional codes from units in Laurent series over matrix rings is presented. Using group ring as matrix rings, this forms a basis for in-depth exploration of convolutional codes from group ring encoding, wherein the ring in the group ring is itself a group ring. The method is used to algebraically construct series of convolutional codes. Algebraic methods are used to compute free distances and to construct convolutional codes to prescribed distances.

연구 동기 및 목표

• 컨볼루션 코드를 체계적으로 대수적으로 구성할 수 있는 방법의 부족, 특히 컴퓨터 탐색을 통해 발견된 짧은 메모리 코드를 초월하여 해결하고자 한다.
• 군환을 행렬환에 통합하여 유닛 기반 컨볼루션 코드의 구조를 확장함으로써 반복적 인코딩 구조를 가능하게 하고자 한다.
• 군환의 단위, 영약자, 아이디מפ로텐트의 대수적 성질을 활용하여 보장된 최소 자유 거리를 갖는 컨볼루션 코드를 통합된 프레임워크로 생성하고자 한다.
• 기존의 구성 방법을 일반화하여 군환의 기초 환 자체가 군환일 수 있도록 허용함으로써 계층적 코드 생성을 가능하게 하고자 한다.
• 대수적 수단을 통해 자유 거리가 예측 가능하고 제어 가능한 고속도 및 허밍 타입 컨볼루션 코드 설계를 가능하게 하고자 한다.

제안 방법

• 행렬환에서의 로렌트 급수 $ R[z,z^{-1}] $ 를 사용하여 컨볼루션 코드를 구성하며, 여기서 $ R $ 은 군환 $ FG $ 에서 유도된 행렬환이다.
• 등장사상 $ R[z,z^{-1}] \cong RC_{\infty} $ 를 활용하여 군환을 정규 표현을 통해 행렬환에 통합함으로써 인코더 행렬을 생성한다.
• 군환 $ (FC_2)C_{\infty} $ 의 단위를 활용하여 이진 $ (2,1) $ 컨볼루션 코드를 구성하고 자유 거리를 대수적으로 계산한다.
• 선형 순환 코드의 생성 다항식을 $ RC_{\infty} $ 에서 모방하는 원리를 적용하여 자유 거리 $ d+2 $ 를 갖는 $ (2,1) $ 컨볼루션 코드를 구성한다. 여기서 $ d $ 는 순환 코드와 그 이중 코드의 최소 거리이다.
• 군환 $ FG $ 의 영제거 원소를 사용하여 특성 $ p $ 가 $ |G| $ 를 나누는 경우, 특성 $ p $ 의 체 위에서 코드를 구성한다.
• 체의 특성이 군의 순서를 나누지 않는 경우 군환의 아이디مف로텐트와 특성함수를 활용하여 원하는 거리 성질을 갖는 체계적 컨볼루션 코드를 생성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 컴퓨터 탐색에 의존하는 대신, 군환의 단위와 같은 대수적 구조를 사용하여 컨볼루션 코드를 체계적으로 구성할 수 있는가?
• RQ2 군환의 성질과 그 행렬 표현을 활용하여 컨볼루션 코드의 자유 거리를 대수적으로 계산할 수 있는가?
• RQ3 기존의 순환 코드에서 유도된 구성 방법을 통해 사전에 지정된 최소 자유 거리, 예를 들어 $ d+2 $ 를 갖는 코드를 생성할 수 있는가?
• RQ4 아이디مف로텐트, 특성함수, 영제거 원소는 임의의 소수 특성의 체 위에서 컨볼루션 코드를 구성하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 자유 거리가 보장되는 허밍 타입 컨볼루션 코드를 대수적으로 구성할 수 있으며, 이는 고전적 허밍 코드와 비교해 볼 때 어떻게 다른가?

주요 결과

• 군환 $ (\mathbb{F}_2 C_2)C_\infty $ 를 사용하여 이진 $ (2,1) $ 컨볼루션 코드의 시리즈를 구성하였고, 자유 거리는 대수적으로 계산되었다.
• 최소 거리 $ d_1 $ 와 이중 코드의 최소 거리 $ d_2 $ 를 갖는 임의의 선형 순환 코드 $ \mathcal{C} $ 에 대해, 자유 거리가 $ d+2 $ 이상인 $ (2,1) $ 컨볼루션 코드를 구성하였으며, 여기서 $ d = \min(d_1, d_2) $ 이다.
• 메모리 $ \delta = 6 $ 인 이진 $ (8,4,9) $ 컨볼루션 코드를 $ u^8 = 1 $ 이 성립하는 $ \mathbb{Z}_2 C_{16} $ 를 사용하여 명시적으로 구성하였으며, 거리 기여를 위해 질량 4의 행렬을 활용하였다.
• $ \mathbb{Z}_2 C_{16} $ 를 사용하여 $ (16,12,9) $ 컨볼루션 코드의 구성이 가능할 것이라 추측되었지만, 전체 세부 사항은 계산되지 않았다.
• 자유 거리 10을 갖는 허밍 타입 $ (8,4) $ 컨볼루션 코드를 $ \mathbb{Z}_2(C_4 \times C_2) $ 를 사용하여 구성하였으며, 생성 행렬은 $ G(z) = (I,B) + (I,A)z + (I,B)z^2 $ 이다.
• 정리 14.1 은 $ RC_{\infty} $ 에서 순환 코드의 생성 다항식을 모방함으로써 자유 거리가 최소 $ d+8 $ 이상인 컨볼루션 코드를 생성할 수 있음을 증명한다. 여기서 $ d $ 는 순환 코드와 그 이중 코드의 최소 거리이다.