[논문 리뷰] Convolutions on compact groups and Fourier algebras of coset spaces

Brian Forrest, Ebrahim Samei외 1명|ArXiv.org|2007. 05. 29.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 19인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 컴팩트 군과 코셋 공간의 푸리에 대수에서의 컨volution 맵을 조사하며, A(G)의 새로운 부분대수인 A_γ(G) 및 A_Δ(G)를 규명한다. G의 항등원 성분이 아벨일 경우 A(G/K)가 초타우버리안(따라서 약한 아벨리안)임을 증명하지만, G가 비아벨 연결 컴팩트 부분군을 가질 경우 연산자 약한 아벨리안 성질을 잃는다. 주요 기여는 군의 특정 클래스에서 A(G/K)의 연산자 아벨리안 성질을 정밀한 스펙트럼 합성 기법을 사용하여 특성화한 것이다.

ABSTRACT

In this note we study two related questions. (1) For a compact group G, what are the ranges of the convolution maps on A(GXG) given for u,v in A(G) by $u X v |-> u*v' ($v'(s)=v(s^{-1})$) and $u X v |-> u*v$? (2) For a locally compact group G and a compact subgroup K, what are the amenability properties of the Fourier algebra of the coset space A(G/K)? The algebra A(G/K) was defined and studied by the first named author. In answering the first question, we obtain for compact groups which do not admit an abelian subgroup of finite index, some new subalgebras of A(G). Using those algebras we can find many instances in which A(G/K) fails the most rudimentary amenability property: operator weak amenability. However, using different techniques, we show that if the connected component of the identity of G is abelian, then A(G/K) always satisfies the stronger property that it is hyper-Tauberian, which is a concept developed by the second named author. We also establish a criterion which characterises operator amenability of A(G/K) for a class of groups which includes the maximally almost periodic groups.

연구 동기 및 목표

• 컴팩트 군 G에 대해 A(G×G)에서의 컨볼루션 맵의 범위를 규명한다. 특히 u×v ↦ u⁎v̌ 및 u×v ↦ u⁎v.
• 국소 컴팩트 G와 컴팩트 K에 대해 코셋 공간 G/K의 푸리에 대수 A(G/K)의 아벨리안 성질을 분석한다.
• A(G)의 새로운 부분대수, 예를 들어 A_γ(G) 및 A_Δ(G)를 규명하고, 그들이 스펙트럼 합성과 아벨리안 성질에서 수행하는 역할를 이해한다.
• G의 연결 성분이 아벨 또는 비아벨일 경우 A(G/K)가 초타우버리안이거나 연산자 아벨리안이 되는 조건을 확립한다.
• 푸리에 대수에서 스펙트럼 합성 연구를 위한 정교한 기법을 개발하며, 합성 또는 비합성 집합의 새로운 예를 이끌어낸다.

제안 방법

• 저자들은 등급 매핑 Γ̌: A(G×G) → A_Δ(G) 및 Γ̌: A(G×G) → A_γ(G)를 사용하여 컨볼루션 맵을 정의하며, 등급 임bedding M̌와 몫 사상 P̌를 활용한다.
• 컴팩트 군에서의 조화 분석를 사용하여, 임베딩된 유니터리 표현 π ∈ Ĝ를 통해 함수를 분해하고, 행렬 계수를 계산하여 A(G×G)의 노름과 A_γ(G)의 노름 간의 관계를 규명한다.
• 핵심 항등식은 f ∈ ran(Γ̌)이 되는 것과 동시에 ∑_π∈Ĝ d_π² ||f̂(π)||₁ < ∞를 만족하는 것인데, 이는 A_γ(G)를 특성화한다.
• A_Δ(G) ⊂ A_γ(G) ⊂ A(G)이며, A_γ(G) = A(G)이 되는 것은 G가 유한 지수의 아벨 부분군을 가질 때에만 성립한다.
• A(G/K)에 대한 연산자 공간 구조를 활용하여, 초타우버리안 성질과 연산자 아벨리안 기준을 통해 아벨리안 성질을 분석한다.
• 스펙트럼 합성 기법을 적용하여, G×G의 닫힌 코셋 링에 속하지 않는 A(G×G) 내에서의 새로운 국소 합성 집합을 구성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 컴팩트 군 G에 대해 A(G×G)에서 u×v ↦ u⁎v̌ 및 u×v ↦ u⁎v 맵의 범위는 무엇인가?
• RQ2 코셋 공간 G/K의 푸리에 대수 A(G/K)가 언제 연산자 아벨리안 또는 연산자 약한 아벨리안인가?
• RQ3 A_γ(G) 및 A_Δ(G)와 같은 부분대수는 스펙트럼 합성과 A(G)의 구조와 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ4 G에 어떤 조건이 성립할 경우 A(G/K)가 초타우버리안이 되며, 이는 G의 항등원의 연결 성분과 어떻게 관련되는가?
• RQ5 컨볼루션 및 표현 이론적 기법을 사용하여 A(G×G)에서 새로운 합성 또는 비합성 집합을 어떻게 구성할 수 있는가?

주요 결과

• u×v ↦ u⁎v̌ 맵의 범위는 A_γ(G)에 등급 등장적으로 이sovolumetric이며, 이 대수는 G가 유한 지수의 아벨 부분군을 가질 때에만 A(G)와 일치한다.
• u×v ↦ u⁎v 맵의 범위는 A_γ(G)에 등급 등장적으로 이sovolumetric이며, 존슨의 이전 결과를 확인하고 연산자 공간 설정으로까지 확장한다.
• G가 컴팩트이고 연결된 비아벨 부분군을 가질 경우, G×G의 어떤 컴팩트 부분군 K*에 대해 A(G/K)는 연산자 약한 아벨리안 성질을 잃는다.
• G의 항등원의 연결 성분이 아벨일 경우 A(G/K)는 초타우버리안이며, 이는 약한 아벨리안 성질을 암시한다.
• [MAP] K-군의 일정한 클래스에 대해, 이 논문은 A(G/K)가 연산자 아벨리안이 되는 조건을 군 이론적 성질과 연산자 공간 성질에 기반하여 특성화한다.
• 저자들은 G의 연결 성분이 아벨일 경우, G×G의 닫힌 코셋 링에 속하지 않는 A(G×G) 내에서 새로운 국소 합성 집합을 구성한다.