[논문 리뷰] Cooperation principle, stability and bifurcation in random complex dynamics

Hiroki Sumi|arXiv (Cornell University)|2010. 08. 24.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 22인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 다항식의 일반적인 무작위 복소 동역학에서, 생성자 간의 자동적 협업으로 인해 평균화된 시스템에서의 혼돈 행동이 사라지고, 안정성과 전이 연산자의 유니터리 고유벡터의 유한차원 공간으로의 지수적 수렴이 발생함을 규명한다. 또한 도약 확률의 편미분을 통해 복소 타카기 함수의 유사체를 정의하여 매개변수에 대한 해석적 의존성과 조르노 집합의 잔여집합에서의 미분 불가능성을 증명한다.

ABSTRACT

We investigate random complex dynamics of rational or polynomial maps on the Riemann sphere. We show that regarding random complex dynamics of polynomials, generically, the chaos of the averaged system disappears at any point in the Riemann sphere due to the automatic coopeartion of many kinds of maps in the system, even though each map of the system has a chaotic part. Moreover, we show that (1) the set of stable systems is open and dense in the space of random dynamical systems of polynomials, and (2) for a stable system, there exist at most finitely many minimal sets and each minimal set is attracting. These (1) and (2) solve a random analogy of the most famous open conjecture in complex dynamics "hyperbolic rational maps are dense in the space of rational maps." Furthermore, we show that for a stable system, the orbit of a Hölder continuous function under the transition operator tends exponentially fast to the finite-dimensional space $U$ of finite linear combinations of unitary eigenvectors of the transition operator. From this, we obtain that the spectrum of the transition operator acting on the space of Hölder continuous functions has a gap between the set of unitary eigenvalues and the rest. Combining this with the perturbation theory for linear operators, we obtain that for a stable system constructed by a finite family of rational maps, the projection to the space $U$ depends real-analytically on the probability parameters. By taking a partial derivative of the function of probability of tending to a minimal set with respect to a probability parameter, we introduce a complex analogue of the Takagi function, which is a new concept. Many new phenomena which can hold in random complex dynamics but cannot hold in usual iteration dynamics of a single rational map are found and systematically investigated.

연구 동기 및 목표

• 리만 구면 위의 독립적이고 동일하게 분포된 유리 함수로 생성된 무작위 동역계의 장기적 행동을 조사한다.
• 특히 다항식 가중치 가족에 대해 무작위 복소 동역계의 안정성과 분기 성질을 분석한다.
• 안정 영역에서 유한 개의 안정적 최소 집합의 존재와 전이 연산자의 지수적 수렴을 확립한다.
• 도약 확률에 대한 매개변수 변화에 대한 도함수로서 복소 타카기 함수의 유사체를 정의하고 연구한다.
• 유니터리 고유벡터의 유한차원 공간으로의 투영이 확률 매개변수에 대해 해석적으로 의존함을 보인다.

제안 방법

• 이산적인 유리 함수 가중치 가족으로 생성된 유리 함수 반군의 동역학을 분석하며, 조르노 집합의 역방향 자기유사성 구조를 활용한다.
• 홀더 연속 함수 위에서의 전이 연산자 스펙트럼 이론을 적용하여 수렴성과 안정성을 연구한다.
• 선형 연산자의 섭동 이론을 사용하여 투영이 확률 매개변수에 대해 해석적으로 의존함을 증명한다.
• 복소 타카기 함수의 유사체로 함수 $ \psi(z) = \left.\frac{\partial T_{\infty,\tau_a}(z)}{\partial a_1}\right|_{a=b} $ 를 정의한다.
• 평균 안정성과 최소 집합의 개념을 활용하여 장기적 행동을 분류하고, 미분 가능 영역을 식별한다.
• 프랙탈 기하학과 투과성 이론의 결과를 응용하여 조르노 집합과 그 차원을 특성화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 무작위 복소 동역학의 다항식에 대한 평균화된 시스템에서 혼돈이 지속되는가, 아니면 생성자 간의 협업으로 억제되는가?
• RQ2 무작위 동역계가 어떤 조건에서 안정적인가, 그리고 안정성은 최소 집합의 구조와 어떻게 관련되는가?
• RQ3 도약 확률 함수 $ T_{\infty,\tau_a}(z) $ 는 확률 매개변수에 어떻게 의존하며, 그 도함수의 성격은 무엇인가?
• RQ4 타카기 함수의 복소 유사체를 정의할 수 있는가, 그리고 어디서 비가역적인가?
• RQ5 전이 연산자의 스펙트럼 성질과 조르노 집합의 기하학적 구조 사이의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 일반적인 다항식 무작위 동역계에서, 생성자 간의 자동적 협업으로 인해 평균화된 시스템에서 혼돈 행동이 사라진다.
• 안정 시스템의 집합은 다항식 무작위 동역계의 공간에서 열려 있고 밀도가 있다.
• 안정 시스템에서는 유한 개의 최소 집합만 존재하며, 각각은 당도하는 집합이다.
• 모든 홀더 연속 함수의 궤도는 전이 연산자에 의해 유한차원 공간 $ U $ 로 지수적으로 수렴한다. 이 $ U $ 는 유니터리 고유벡터의 유한 선형 조합으로 이루어진다.
• 안정 시스템에서 $ U $ 로의 투영은 확률 매개변수에 대해 해석적으로 의존한다.
• 도약 확률의 도함수로서 정의된 복소 타카기 함수의 유사체는 홀더 연속이며, 조르노 집합의 비가산 밀집부분에서 비가역적이다.