[논문 리뷰] Cops and Robber Game with a Fast Robber on Interval, Chordal, and Planar Graphs

Abbas Mehrabian|arXiv (Cornell University)|2010. 08. 25.

Advanced Graph Theory Research참고 문헌 13인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 도둑이 무한대 속도로 이동하지만, 경찰이 점유한 정점을 통과할 수 없는 Cops and Robber 게임의 변종을 연구한다. 간격 그래프, 체로달 그래프, 평면 그래프, 초입방형 그래프에 대해 총수 $c_{\text{∞}}(G)$의 날카운 경계를 확립하며, 간격 그래프에 대해 $c_{\text{∞}}(G) = O(\sqrt{n})$, 일부 체로달 그래프에 대해 $\Omega(n/\log n)$, 평면 그래프에 대해 $\Theta(\text{tw}(G))$임을 보이며, 간격 그래프에 대해 3-근사 알고리즘과 초입방형 그래프에 대해 날카운 경계를 제시한다.

ABSTRACT

We consider a variant of the Cops and Robber game, introduced by Fomin, Golovach, Kratochvil, in which the robber has unbounded speed, i.e. can take any path from her vertex in her turn, but she is not allowed to pass through a vertex occupied by a cop. We study this game on interval graphs, chordal graphs, planar graphs, and hypercube graphs. Let c_{\infty}(G) denote the number of cops needed to capture the robber in graph G in this variant. We show that if G is an interval graph, then c_{\infty}(G) = O(sqrt(|V(G)|)), and we give a polynomial-time 3-approximation algorithm for finding c_{\infty}(G) in interval graphs. We prove that for every n there exists an n-vertex chordal graph G with c_{\infty}(G) = Omega(n / \log n). Let tw(G) and Delta(G) denote the treewidth and the maximum degree of G, respectively. We prove that for every G, tw(G) + 1 \leq (Delta(G) + 1) c_{\infty}(G). Using this lower bound for c_{\infty}(G), we show two things. The first is that if G is a planar graph (or more generally, if G does not have a fixed apex graph as a minor), then c_{\infty}(G) = Theta(tw(G)). This immediately leads to an O(1)-approximation algorithm for computing c_{\infty} for planar graphs. The second is that if G is the m-hypercube graph, then there exist constants eta1, eta2>0 such that (eta1) 2^m / (m sqrt(m)) \leq c_{\infty}(G) \leq (eta2) 2^m / m.

연구 동기 및 목표

• 경찰이 점유한 정점을 통과할 수 없지만 무한대 속도로 이동하는 도둑을 가진 Cops and Robber 게임의 변종에서 총수 $c_{\infty}(G)$를 분석하는 것.
• 간격, 체로달, 평면, 초입방형 그래프에 대해 $c_{\infty}(G)$의 날카운 상한과 하한을 결정하는 것.
• 간격 그래프에서 $c_{\infty}(G)$를 계산하는 다항시간 3-근사 알고리즘을 개발하는 것.
• 총수 $c_{\infty}(G)$와 트리너비, 최대 차수와 같은 그래프 매개변수 간의 관계를 탐색하는 것.
• 특정 그래프 클래스에 대해 $c_{\infty}(G)$의 복잡도와 정확한 값에 대한 열린 문제를 해결하는 것.

제안 방법

• 간격 그래프에서 $c_{\infty}(G) = O(\sqrt{n})$임을 구조적 분해와 경로 기반 전략을 사용해 증명한다.
• 간격 그래프의 성질과 동적 프로그래밍을 활용하여 $c_{\infty}(G)$에 대한 다항시간 3-근사 알고리즘을 구성한다.
• 트리너비와 최대 차수의 이중성에 기반해 하한 $c_{\infty}(G) \geq \frac{tw(G)+1}{\Delta(G)+1}$을 확립한다.
• 평면 그래프(고정된 피크 미니어를 배제하는 그래프)에 대해 $c_{\infty}(G) = \Theta(tw(G))$임을 증명하며, 총수와 트리너비를 연결한다.
• $m$-초입방형 그래프 $\mathcal{H}_m$을 도미네이션 수와 트리너비 경계를 사용해 분석하여 $c_{\infty}(\mathcal{H}_m) = \Theta(2^m / m)$를 유도한다.
• 확률적 방법과 무작위 그래프 이론을 사용해 $c_{\infty}(G) = \Theta(n)$인 그래프를 구성함으로써, 선형 총수의 가능성을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 간격 그래프에 대해 $c_{\infty}(G)$의 정확한 점근적 행동은 무엇이며, 이를 효율적으로 근사할 수 있는가?
• RQ2 $c_{\infty}(G) = \Omega(n)$인 체로달 그래프가 존재하는가, 아니면 $\Omega(n/\log n)$이 날카운 상한인가?
• RQ3 모든 피크 미니어를 배제하는 그래프에 대해 $c_{\infty}(G) = \Theta(tw(G))$인지, 아니면 평면 그래프에 대해서만 성립하는가?
• RQ4 $m$-차원 초입방형 그래프 $\mathcal{H}_m$에 대해 $c_{\infty}(G)$의 정확한 값은 무엇인가?
• RQ5 $c_{\infty}(G)$를 계산하는 것이 NP에 속하는가, 그리고 간격 그래프에 대해 이 문제가 NP-난이도인가?

주요 결과

• 간격 그래프에 대해 $c_{\infty}(G) = O(\sqrt{n})$이며, 이 경계는 $\Omega(\sqrt{n})$에 도달하는 구성으로 날카로움을 입증한다.
• 간격 그래프에서 $c_{\infty}(G)$를 계산하는 다항시간 3-근사 알고리즘이 존재한다.
• 모든 $n$에 대해 $c_{\infty}(G) = \Omega(n/\log n)$인 체로달 그래프 $G$가 존재하므로, 이 경계는 거의 날카롭다.
• 평면 그래프(고정된 피크 미니어를 배제하는 그래프)에 대해 $c_{\infty}(G) = \Theta(tw(G))$이며, 이는 $O(1)$-근사 알고리즘을 이끌어낸다.
• $m$-초입방형 그래프 $\mathcal{H}_m$에 대해 $c_{\infty}(\mathcal{H}_m) = \Theta(2^m / m)$이며, 상수 $\eta_1, \eta_2 > 0$에 대해 $\eta_1 2^m / (m\sqrt{m}) \leq c_{\infty}(\mathcal{H}_m) \leq \eta_2 2^m / m$의 경계를 가진다.
• 모든 그래프 $G$에 대해 하한 $c_{\infty}(G) \geq \frac{tw(G)+1}{\Delta(G)+1}$이 성립하며, 이는 총수를 트리너비와 최대 차수와 연결한다.