[논문 리뷰] Copula-based Hierarchical Aggregation of Correlated Risks. The behaviour of the diversification benefit in Gaussian and Lognormal Trees

Jean-Philippe Bruneton|arXiv (Cornell University)|2011. 11. 04.

Risk and Portfolio Optimization인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 가우시안 및 로그노멀 트리 구조를 사용하여 관련된 리스크를 포트폴리오에서 모델링하기 위한 코풀라 기반 계층적 집계 프레임워크를 제안한다. 가우시안 트리에서 다각화 이점을 분석적으로 유도하며, '박한' 트리(높은 깊이)가 '두꺼운' 트리(얕고 넓은 구조)보다 항상 우월함을 보여주며, 이는 효과적 의존도가 자연스럽게 감소하기 때문이며, 이 현상은 더 현실적인 로그노멀 모델에서도 동일하게 적용된다.

ABSTRACT

The benefits of diversifying risks are difficult to estimate quantitatively because of the uncertainties in the dependence structure between the risks. Also, the modelling of multidimensional dependencies is a non-trivial task. This paper focuses on one such technique for portfolio aggregation, namely the aggregation of risks within trees, where dependencies are set at each step of the aggregation with the help of some copulas. We define rigorously this procedure and then study extensively the Gaussian Tree of quite arbitrary size and shape, where individual risks are normal, and where the Gaussian copula is used. We derive exact analytical results for the diversification benefit of the Gaussian tree as a function of its shape and of the dependency parameters. Such a "toy-model" of an aggregation tree enables one to understand the basic phenomena's at play while aggregating risks in this way. In particular, it is shown that, for a fixed number of individual risks, "thin" trees diversify better than "fat" trees. Related to this, it is shown that hierarchical trees have the natural tendency to lower the overall dependency with respect to the dependency parameter chosen at each step of the aggregation. We also show that these results hold in more general cases outside the gaussian world, and apply notably to more realistic portfolios (LogNormal trees). We believe that any insurer or reinsurer using such a tool should be aware of these systematic effects, and that this awareness should strongly call for designing trees that adequately fit the business. We finally address the issue of specifying the full joint distribution between the risks. We show that the hierarchical mechanism does not require nor specify the joint distribution, but that the latter can be determined exactly (in the Gaussian case) by adding conditional independence hypotheses between the risks and their sums.

연구 동기 및 목표

• 트리 구조적 포트폴리오에서 관련된 리스크의 코풀라 기반 계층적 집계를 엄밀하게 수립하는 것.
• 트리의 구조 및 의존도 파라미터에 따라 가우시안 트리에서의 다각화 이점이 어떻게 정량화되는지 분석하는 것.
• 계층적 집계에서의 구조적 영향이 전체 포트폴리오의 의존도를 체계적으로 감소시키는지 조사하는 것.
• 가우시안 모델에서의 결과를 더 현실적인 로그노멀 리스크 모델로 확장하는 것.
• 조건부 독립 가정 하에 전체 연합 분포가 계층적 코풀라 구조로부터 복원 가능한지 명확히 하는 것.

제안 방법

• 위계적 집계를 상향식 트리 분해를 통해 정의하며, 각 수준에서 코풀라를 사용하여 리스크를 집계함으로써 의존도를 모델링함.
• 각 집계 단계에서 하위 포트폴리오 간의 의존도를 가우시안 코풀라로 모델링하며, 변량 분포는 정규 또는 로그노멀로 가정함.
• 조건부 독립 가정을 적용하여 가우시안 트리에서 전체 연합 분포의 정확한 표현식을 도출함.
• 리스크 간의 효과적 상관계수를 트리 내에서의 공통 융합 경로를 기반으로 하향식 공분산 분해를 통해 계산함.
• 트리 수준을 거쳐 재귀적 분산 전파를 통해 총 분산 및 다각화 이점을 분석적으로 유도하는 공식을 유도함.
• 비정규 변량을 사용한 동일한 계층적 코풀라 메커니즘을 적용하여 로그노멀 트리에서 결과를 검증함으로써, 구조적 효과의 강건성을 확인함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 계층적 집계 트리의 구조(예: 깊이 대 폭)가 관련된 리스크가 존재할 때 다각화 이점에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ2 코풀라를 통한 계층적 집계가 직접 집계에 비해 개별 리스크 간의 효과적 의존도를 얼마나 감소시키는가?
• RQ3 가우시안 트리에서의 다각화 이점은 코풀라 파라미터의 선택에 따라 달라지며, 트리 구조에 의해 어떻게 조절되는가?
• RQ4 조건부 독립 가정 하에 계층적 코풀라 집계로부터 리스크의 전체 연합 분포를 재구성할 수 있는가?
• RQ5 가우시안 트리에서 관찰된 구조적 효과—예를 들어 박한 트리에서의 효과적 의존도 감소—는 더 현실적인 로그노멀 리스크 모델에서도 유지되는가?

주요 결과

• 고정된 개별 리스크 수를 가진 경우, '박한' 트리(높은 깊이, 낮은 분기 수)는 항상 '두꺼운' 트리(얕고 높은 분기 수)보다 더 큰 다각화 이점을 달성함.
• 가우시안 코풀라를 사용한 계층적 집계는 동일한 코풀라 파라미터를 각 수준에 적용하더라도 트리의 재귀적 구조 덕분에 효과적 의존도를 자연스럽게 감소시킴.
• 가우시안 트리에서의 다각화 이점은 분석적으로 다룰 수 있으며, 트리의 형태와 코풀라 상관계수에 명시적으로 의존하며, 총 분산 및 리스크 측도에 대해 닫힌 형태의 수식이 도출됨.
• 동일한 구조적 경향—박한 트리가 두꺼운 트리보다 우월함—은 로그노멀 트리에서도 유지되며, 이는 정규성의 영향이 아닌 계층적 코풀라 집계의 일반적 특성임을 시사함.
• 조건부 독립 가정 하에, 가우시안 트리에서 리스크의 전체 연합 분포는 계층적 코풀라 구조와 변량 분포로부터 정확히 복원 가능함.
• 트리 내 두 잎 사이의 효과적 상관계수는 그들의 경로가 처음 융합하는 수준에만 의존하며, 이 의존도에 대해 재귀적 공식이 도출됨.