[논문 리뷰] Correct traction boundary conditions in the indeterminate couple stress model

Patrizio Neff, Ionel‐Dumitrel Ghiba외 2명|arXiv (Cornell University)|2015. 04. 02.

Elasticity and Material Modeling인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 결정되지 않은 쌍대 응력 모델의 미분 경계 조건에서 오랫동안 알려진 모순을 규명하고 수정한다. 널리 사용되어 온 민린-티어스텐 경계 조건이 부족하다는 것을 입증한다. 변분 원리와 표면 발산 정리를 통해 엄밀하게 전체 일관된 경계 조건을 유도함으로써, 에너지 공액성과 고차원 기울기 탄성 모델에서 오랫동안 지속된 모순을 해결하는 새로운 완전한 프레임워크를 수립한다.

ABSTRACT

In this paper we consider the Grioli-Koiter-Mindlin-Toupin indeterminatecouple stress model. The main aim is to show that the traction boundary conditions were not yet completely deduced. As it turns out, and to our own surprise, restricting the boundary condition framework from the strain gradient models to the couple stress model does not reduce to Mindlin's set of accepted boundary conditions. We present therefore, for the first time the complete, consistent set of traction boundary conditions.

연구 동기 및 목표

• 민린과 티어스텐이 제시한 결정되지 않은 쌍대 응력 모델의 고전적 경계 조건에 내재된 근본적 결함을 규명하는 것.
• 고차원 기울기 탄성에서 변위 조건과 응력 조건 간의 에너지 공액성에 대한 모순을 해결하는 것.
• 변분 원리와 표면 발산 정리를 사용하여 완전하고 일관되며 에너지적으로 공액인 응력 경계 조건의 집합을 유도하는 것.
• 최근 논란이 되고 있는 문헌에서 주장하는 것과는 대조적으로, 쌍대 응력 텐서의 물리적 및 수학적 역할, 특히 그 비반대칭일 필요가 없는 성질을 명확히 하는 것.
• 마이크로 및 나노 스케일 기계 해석에서 결정되지 않은 쌍대 응력 모델의 적용을 위한 엄밀한 기초를 제공하는 것.

제안 방법

• 가상일 원리와 표면 발산 정리를 사용하여 에너지 공액성을 보장하는 정확한 경계 조건을 유도한다.
• 경계에 대해 법선 및 탄성 성분으로 분해된 변위 기울기를 적용하여 변위 조건과 응력 조건을 독립적으로 지정할 수 있도록 한다.
• 민린-티어스텐 수식에서 누락된 항을 규명한다: $-\frac{1}{2}\nabla\left[\operatorname{anti}((1\!\!1-n\otimes n)\cdot\widetilde{m}\cdot n)\cdot(1\!\!1-n\otimes n)\right]:(1\!\!1-n\otimes n)$, 이는 에너지 일관성에 필수적이다.
• 더 일반적인 제2계 기울기 탄성 모델에서 유도된 응력 조건과의 동치성을 보여줌으로써 새로운 경계 조건을 검증한다.
• 레비-치비타 기호와 반대 연산자를 포함한 인덱스 표기법과 텐서 미적분을 사용하여 곡률 에너지와 응력 텐서를 엄밀하게 표현한다.
• 경계 곡선 $\partial\Gamma$ 의 역할을 분석하고, 비연속성에서 모멘트 텐서의 반대칭 부분에 대한 점프 조건을 도입하여 비연속 경계에서의 일관성을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 왜 결정되지 않은 쌍대 응력 모델의 고전적 응력 경계 조건은 널리 사용되지만 물리적으로 일관되지 않은가?
• RQ2 결정되지 않은 쌍대 응력 모델에 대한 완전하고 에너지적으로 공액인 응력 경계 조건의 집합은 무엇인가?
• RQ3 정확한 경계 조건 수식은 민린-티어스텐 수식과 어떻게 다를까? 그리고 누락된 항의 물리적 의미는 무엇인가?
• RQ4 새로운 응력 경계 조건은 더 일반적인 제2계 기울기 탄성 프레임워크에서 유도될 수 있는가?
• RQ5 쌍대 응력 텐서 $\widetilde{m}$ 의 진정한 성질은 무엇이며, 왜 반드시 반대칭일 필요가 없는가?

주요 결과

• 민린과 티어스텐이 제안한 고전적 응력 경계 조건은 완전하지 않으며, 에너지 공액성을 확보하지 못한다. 이는 중요한 표면 항을 생략하기 때문이다.
• 정확한 응력 경계 조건은 표면에 투영된 모멘트 텐서의 반대칭 부분의 기울기를 포함하는 추가 항을 포함하며, 이는 변위 기울기와 일하는 데 기여한다.
• 완전한 응력 조건 집합은 두 부분으로 구성된다: 매끄러운 경계 $\partial\Omega\setminus\overline{\Gamma}$ 에서의 벡터 응력 조건과 경계 곡선 $\partial\Gamma$ 에서의 점프 조건으로, 모멘트 효과의 연속성을 보장한다.
• 새로운 경계 조건은 제2계 기울기 탄성의 변분 수식과 완전히 일치하며, 제3차 모멘트 텐서 수식에서 도출된 조건과 일치한다.
• 쌍대 응력 텐서 $\widetilde{m}$ 는 반드시 반대칭일 필요가 없다. 대신 대칭일 수 있으며, 최근 문헌에서 주장하는 바와는 정반대이다. 이는 민린-티어스텐 수식의 결함이 있는 경계 조건 프레임워크에서 기인한다.
• 이 유도 과정은 최근 논문에서 $\widetilde{m}$ 이 반드시 반대칭이어야 한다고 주장하는 논란을 해결하며, 이러한 결론들이 결함이 있는 경계 조건 프레임워크에서 기인한다는 것을 입증한다.