[논문 리뷰] Correlated multi-asset portfolio optimisation with transaction cost

Siu Lung Law, Chiu Fan Lee외 2명|ArXiv.org|2007. 05. 14.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 16인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 펌지션 분석을 사용하여 거래비용을 고려한 다자산 포트폴리오 최적화를 위한 분석적 프레임워크를 개발한다. 이는 이전 연구를 확장하여 상관관계가 있는 위험자산을 포함하도록 한다. 대칭적인 거래비용 미적용 영역을 최적 포트폴리오 주위에 가정함으로써, 일반적인 유틸리티 함수 하에서 최적 거래 전략에 대한 닫힌 형식의 해를 유도하며, 장기 성장 모델 맥락에서 시뮬레이션을 통한 수치적 검증을 수행한다.

ABSTRACT

We employ perturbation analysis technique to study multi-asset portfolio optimisation with transaction cost. We allow for correlations in risky assets and obtain optimal trading methods for general utility functions. Our analytical results are supported by numerical simulations in the context of the Long Term Growth Model.

연구 동기 및 목표

• 거래비용이 있는 단일 자산 포트폴리오 최적화 모델을 상관관계가 있는 다수의 위험자산으로 확장하기 위해.
• 거래비용이 존재하는 상황에서 일반 유틸리티 함수 하에서 최적 거래 전략에 대한 분석적 해를 도출하기 위해.
• 장기 성장 모델 맥락에서 수치적 시뮬레이션을 통해 분석 결과를 검증하기 위해.
• 최적 포트폴리오 곡선 주위에 대칭적인 거래비용 미적용 영역을 통합하여 경계의 구조를 단순화하고 계산 및 분석의 용이성을 높이기 위해.

제안 방법

• 거래비용을 작은 매개변수로 간주하여 힐버트-자코비-벨만 방정식에 펌지션 분석을 적용한다.
• 변수변환 도입: $ H(\Pi,\alpha,t) = J(\Pi,A,t) $, $ A = A^*(\Pi,t) + k^{1/3}\alpha $, 거래비용 매개변수 $ k $ 의 멱수로 값 함수를 전개한다.
• 값 함수 $ J $ 의 도함수를 $ H $ 와 $ \alpha $ 로 표현하여 최적 제어의 점근적 전개를 가능하게 한다.
• 거래비용 미적용 영역의 단순화를 위해 구매 및 매도 경계의 대칭성($ \alpha_{+} = -\alpha_{-} $)을 가정한다.
• 동적 프ogramming과 이토의 보조정리를 사용하여 최적 기대값 함수에 대한 하밀턴-벨먼-자코비 방정식을 수립한다.
• 두 개의 위험자산과 한 개의 무위험 자산을 포함한 수치적 시뮬레이션을 수행하며, 상관관계가 있는 브라운 운동을 가진 확률적 미분 방정식을 통해 자산을 갱신하고, 거래비용 미적용 영역 외부에선 거래비용을 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 거래비용이 존재하는 다자산 포트폴리오 최적화는 어떻게 상관관계가 있는 위험자산을 포함하도록 일반화할 수 있는가?
• RQ2 거래비용이 존재하고 거래비용 미적용 영역이 대칭일 경우 최적 거래 전략은 어떤 분석적 형태를 띠는가?
• RQ3 위험자산 간의 상관관계가 최적 포트폴리오의 구조와 거래비용 미적용 영역 경계에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 펌지션 방법을 통해 유도된 분석 결과는 장기 성장 모델 내 수치적 시뮬레이션과 얼마나 일치하는가?
• RQ5 대칭적인 거래비용 미적용 영역에 의해 제약을 받는 최적 전략에서 거래비용은 포트폴리오 성과에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 저자는 상관관계가 있는 위험자산과 거래비용이 존재하는 상황에서 일반 유틸리티 함수 하에 대해 대칭적인 거래비용 미적용 영역을 가정할 때 최적 거래 전략에 대한 분석적 표현을 도출한다.
• 펌지션 방법은 거래비용 미적용 영역의 구조를 성공적으로 포착하며, 구매 및 매도 경계가 최적 포트폴리오 곡선으로부터 동일한 거리에 위치함을 보여준다.
• 수치적 시뮬레이션은 분석 예측을 확인하며, 대칭 경계를 가진 최적 전략이 실제 최적 전략과 거의 동일한 성능을 보이며, 성능 격차는 매우 작음을 보여준다.
• 모델 설정에서 $ r=1 $, $ \mu_1=1.3 $, $ \mu_2=1.5 $, $ \sigma_1=\sigma_2=1 $, $ \rho_{12}=0.5 $, $ k=0.005 $, $ \Delta t=5\times10^{-5} $ 를 사용한 결과 안정적인 수렴과 현실적인 역학을 보였다.
• 변수변환 $ A = A^* + k^{1/3}\alpha $ 는 값 함수의 체계적 전개를 가능하게 하며, 거래비용이 존재할 경우 최적 전략의 1차 보정항을 도출할 수 있도록 한다.
• 결과적으로 대칭 경계 하의 최적 전략은 최적은 아니지만 실질적으로 최적에 매우 가까운 성능을 보이며, 이는 분석 근사의 타당성을 검증한다.