[논문 리뷰] Correlation/Communication complexity of generating bipartite states

Rahul Jain, Yaoyun Shi외 2명|arXiv (Cornell University)|2012. 03. 06.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 3인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 양자 및 고전적 상관관계/통신 복잡도를 이원 양자 상태 생성에 대해 날카롭게 특성화한다. 순수 상태의 양자 상관관계 복잡도는 그 근사 랭크의 로그로 날카롭게 유 bounds되며, 고전적 분포의 경우는 양의 정부호 랭크로 특성화되며, 이는 이전 연구에서 남아 있던 비음수 및 양의 정부호 랭크에 대한 열린 질문을 해결한다.

ABSTRACT

We study the correlation complexity (or equivalently, the communication complexity) of generating a bipartite quantum state $ρ$. When $ρ$ is a pure state, we completely characterize the complexity for approximately generating $ρ$ by a corresponding approximate rank, closing a gap left in Ambainis, Schulman, Ta-Shma, Vazirani and Wigderson (SIAM Journal on Computing, 32(6):1570-1585, 2003). When $ρ$ is a classical distribution $P(x,y)$, we tightly characterize the complexity of generating $P$ by the psd-rank, a measure recently proposed by Fiorini, Massar, Pokutta, Tiwary and de Wolf (STOC 2012). We also present a characterization of the complexity of generating a general quantum state $ρ$.

연구 동기 및 목표

• 순수 상태에 대한 양자 상관관계 복잡도 이해의 격차를 메우기 위해 근사 랭크를 통한 근사적 생성을 특성화한다.
• 최근 도입된 양의 정부호(positive semidefinite, psd) 랭크를 사용하여 이원 확률 분포에 대한 고전적 상관관계 복잡도를 날카롭게 특성화한다.
• 이원 상태 생성에 대한 양자 및 고전적 환경에서의 통신 및 상관관계 복잡도 이론을 통합하고 확장한다.
• 양자 통신 복잡도가 양자 상관관계 복잡도와 정확히 일치함을 입증하여 이전에 기인된 사실을 확인한다.

제안 방법

• 양자 공유 상태의 최소 크기를 정의하여 근사 양자 상관관계 복잡도 $\mbox{\sf{Q}}_{\epsilon}(\rho)$ 를 정의한다. 이는 $\rho$ 를 충성도 $1-\epsilon$ 이내로 생성하는 데 사용된다.
• 정리의 복잡도를 행렬 표현의 랭크와 연결하기 위해 순수화의 S-랭크 개념을 사용한다.
• 분포 $P(x,y)$ 에 대해 $\mathrm{tr}(C_x D_y) = P(x,y)$ 를 만족하는 양의 정부호 행렬 $C_x$ 와 $D_y$ 를 사용하여 고전적 상태 $\rho$ 의 순수화를 구성한다. 이는 $P$ 의 양의 정부호 랭크와 양자 상관관계 복잡도를 연결한다.
• 행렬 분해와 추적 연산을 사용하여, 고전적 $\rho$ 에 대해 $\rho$ 를 생성하는 데 필요한 공유 상태의 최소 크기가 $\lceil \log_2 \mathrm{rank}_{\mathrm{psd}}(P) \rceil$ 와 정확히 일치함을 증명한다.
• 모델 간의 통합을 위해 $\mbox{\sf{QComm}}(\rho) = \mbox{\sf{Q}}(\rho)$ 를 활용한다.
• 양의 정부호 행렬의 성질과 쌍대성(duality)을 활용하여, 임의의 이러한 분해는 최소한 $\mathrm{rank}_{\mathrm{psd}}(P)$ 의 랭크를 가져야 하며, 이는 날카로운 경계를 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 순수 이원 양자 상태를 근사적으로 생성하는 데 필요한 정확한 양자 상관관계 복잡도는 무엇인가?
• RQ2 고전적 연합 분포의 양의 정부호 랭크는 그 고전적 상관관계 복잡도와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 어떤 상태에 대해 양자 통신 복잡도가 정확히 그 양자 상관관계 복잡도와 일치할 수 있는가?
• RQ4 주어진 이원 양자 상태를 높은 충성도로 생성하기 위해 필요한 공유 양자 상태의 최소 크기는 무엇인가?
• RQ5 양의 정부호 랭크는 이원 분포의 고전적 상관관계 복잡도를 특성화하는 데 적절한 측정치인가?

주요 결과

• 순수 상태 $|\psi\rangle\langle\psi|$ 의 양자 상관관계 복잡도는 $\lceil \log_2 \mathrm{rank}_\epsilon(A) \rceil$ 으로 날카롭게 유 bounds되며, 여기서 $A$ 는 진폭 행렬이고 $\mathrm{rank}_\epsilon(A)$ 는 $\ell_2$-노름에서 $A$ 에 $\epsilon$-근접한 행렬의 최소 랭크이다.
• 이원 고전적 분포 $P(x,y)$ 에 대해 고전적 상관관계 복잡도 $\mbox{\sf{R}}(P)$ 는 정확히 $\lceil \log_2 \mathrm{rank}_{\mathrm{psd}}(P) \rceil$ 와 일치하며, 이는 이전 연구에서 남아 있던 격차를 해결한다.
• 모든 이원 상태 $\rho$ 에 대해 양자 통신 복잡도 $\mbox{\sf{QComm}}(\rho)$ 는 양자 상관관계 복잡도 $\mbox{\sf{Q}}(\rho)$ 와 정확히 일치한다. 이는 이전에 기인된 사실을 확인한다.
• S-랭크가 $r$ 인 고전적 상태 $\rho$ 의 임의의 순수화는 분포 $P$ 에 대해 랭크가 최대 $r$ 인 양의 정부호 분해를 유도한다. 이는 복잡도에 대한 하한을 증명한다.
• 고전적 상태인 $\rho$ 에 대해, $\rho$ 를 생성하는 데 필요한 공유 양자 상태의 최소 크기는 정확히 $\lceil \log_2 \mathrm{rank}_{\mathrm{psd}}(P) \rceil$ 이다.
• 논문은 계산 기저에서의 밀도 행렬의 양의 정부호 랭크를 통해 일반 양자 상태에 대한 양자 상관관계 복잡도의 완전한 특성화를 수립한다.