[논문 리뷰] Correlation Functions of Classical and Quantum Artin System defined on Labachevsky Plane and Scrambling Time

Hrachya M. Babujian, George Savvidy외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 08. 06.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 24인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 초평면 라바체브스키 평면 위의 아르틴 시스템에서 양자 혼돈을 연구하며, 열적 양자 상관 함수와 시간 순서 외 상관 함수를 계산한다. 이는 두점 및 네점 함수의 지수적 감쇠와 제곱된 교환자에 의한 지수적 증가를 보이며, 고전적 혼돈의 특징이 양자 시스템에서 확인됨을 입증한다. 다만, 증가율은 혼돈 한계에 도달하지 못한다.

ABSTRACT

We consider the quantisation of the Artin dynamical system defined on the fundamental region of the modular group. In classical regime the geodesic flow in the fundamental region represents one of the most chaotic dynamical systems, it has mixing of all orders, Lebesgue spectrum and non-zero Kolmogorov entropy. As a result, the classical correlation functions decay exponentially. In order to investigate the influence of the classical chaotic behaviour on the quantum-mechanical properties of the Artin system we calculated the corresponding thermal quantum-mechanical correlation functions. It was conjectured by Maldacena, Shenker and Stanford that the classical chaos can be diagnosed in thermal quantum systems by using an out-of-time-order correlation function as well as the square of the commutator of operators separated in time. We demonstrated that the two- and four-point correlation functions of the Louiville-like operators decay exponentially with a temperature dependent exponent. As conjectured the square of the commutator of the Louiville-like operators separated in time grows exponentially, similar to the exponential divergency of trajectories in the classical regime. The corresponding exponent does not saturate the maximal growth condition.

연구 동기 및 목표

• 아르틴 시스템의 고전적 혼돈이 양자역학적 상관 함수에 어떻게 나타나는지 조사하기.
• 시간 순서 외 상관 함수를 사용하여 양자 혼돈에 대한 말다카나-쉔커-스탄포드 추측을 검증하기.
• 초평면 위의 열적 양자 시스템에서의 루이빌 유사 연산자의 거동 분석하기.
• 이 시스템에서 양자 교환자 성장률이 최대 혼돈 한계에 도달하는지 확인하기.

제안 방법

• 모듈라 군의 기본 영역에서 초평면 라바체브스키 평면 위의 아르틴 동역학 시스템의 양자화.
• 루이빌 유사 연산자의 두점 및 네점 함수에 대한 열적 양자역학적 상관 함수 계산.
• 시간에 따라 분리된 루이빌 유사 연산자의 제곱된 교환자 평가를 통해 양자 혼돈 탐지.
• 지수적 분리 및 콜모고로프-신카이 엔트로피와 같은 고전적 혼돈 지표와의 관계에서 감쇠 및 성장률 분석.
• 양자 혼돈 진단을 위해 시간 순서 외 상관 함수 형식 사용.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 아르틴 시스템처럼 고전적으로 혼돈스러운 시스템에서 열적 양자 상관 함수는 어떻게 행동하는가?
• RQ2 시간에 따라 분리된 연산자의 제곱된 교환자가 얼마나 지수적으로 시간에 따라 증가하는가? 이는 고전적 혼돈을 반영하는가?
• RQ3 이 시스템에서의 양자 교환자 성장률은 최대 혼돈 한계에 도달하는가?
• RQ4 상관 함수 감쇠의 온도 의존성은 고전적 혼합성과 엔트로피와 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• 루이빌 유사 연산자의 두점 및 네점 상관 함수는 온도에 따라 변하는 지수적 계수를 가진 채로 지수적으로 감쇠한다.
• 시간에 따라 분리된 루이빌 유사 연산자의 제곱된 교환자는 지수적으로 증가하며, 고전적 궤도의 지수적 분리와 유사하다.
• 교환자 성장의 계수는 말다카나-쉔커-스탄포드 추측에서 예측한 최대 성장률 한계에 도달하지 못한다.
• 결과는 고전적 혼돈의 특징—지수적 감쇠와 지수적 교환자 성장—이 아르틴 시스템의 양자 영역에서도 유지됨을 확인한다.