[논문 리뷰] Correlation structure of time-changed fractional Brownian motion

Jebessa B. Mijena|arXiv (Cornell University)|2014. 08. 20.

Financial Risk and Volatility Modeling참고 문헌 17인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 분수 Brown 운동(fBm)이 역 하위순서자(inverse subordinator)에 의해 하위순서된 시간변경 분수 Brown 운동의 명시적 상관 구조를 유도한다. 라플라스 변환과 일반화된 미타그레플레르 함수를 사용하여 공분산 및 상관 함수에 대한 정확한 표현을 수립하며, 특히 온화된 안정분포 및 역 $\alpha$-안정분포 하위순서자에 대해 장시간 및 소시간 근사 행동을 도출한다.

ABSTRACT

Fractional Brownian motion (fBm) is a centered self-similar Gaussian process with stationary increments, which depends on a parameter $H \in (0, 1)$ called the Hurst index. The use of time-changed processes in modeling often requires the knowledge of their second order properties such as covariance function. This paper provides the explicit expression for the correlation structure for time-changed fractional Brownian motion. Several examples useful in applications are discussed.

연구 동기 및 목표

• 분수 Brown 운동(fBm)이 역 하위순서자에 의해 하위순서된 시간변경 fBm에 대한 정확한 상관 함수를 도출하는 것.
• 결과로 얻어진 비 마르코프성, 비 정규성 프로세스의 이차모멘트 성질—특히 공분산 및 상관 함수—를 특성화하는 것.
• 특히 역 $\alpha$-안정분포 및 온화된 안정분포 하위순서자에 대해 시간이 무한대 및 영으로 갈 때 상관 함수의 점점 가까운 행동을 분석하는 것.
• 실제 세계의 확률 모델링에 적용 가능한 일반화된 미타그레플레르 함수와 라플라스 변환 기법을 사용한 명시적 공식 제공.
• 기존의 하위순서된 브라운 운동 결과를 더 넓은 범위의 자기유사성, 장기적 의존성을 가지는 fBm 프로세스로 확장하는 것.

제안 방법

• 표준 브라운 운동에 대한 fBm의 확률적 적분 표현을 사용하고, 역 하위순서자 $Y(t)$를 통한 시간변경을 적용하여 $Z(t) = B_H(Y(t))$를 정의한다.
• 역 하위순서자의 분포에 대한 라플라스 변환을 적용하여 공분산 함수 $\mathbb{E}[Z(t)Z(s)]$를 도출하며, 공식 $\mathbb{E}[Z(t)Z(s)] = \frac{\sigma^2}{2} \left( U^{2H}(s) + U^{2H}(t) - U^{2H}(|t-s|) \right)$ 를 사용한다. 여기서 $U(t) = \mathbb{E}[Y(t)]$이다.
• 역 $\alpha$-안정분포 및 온화된 안정분포 하위순서자에 대해 재생 함수 $U(t)$를 일반화된 미타그레플레르 함수 $E_{\alpha,\beta}^{\gamma}(z)$로 표현한다.
• 카라마타 타우버리언 정리를 적용하여 $t \to \infty$ 및 $t \to 0$일 때 $U(t)$의 점점 가까운 행동을 도출한다.
• 공분산의 콘볼루션 구조와 $U^{2H}(t)$의 라플라스 변환을 이용하여 장시간 상관 함수의 점점 가까운 행동을 유도한다.
• $t \to \infty$ 일 때 $0 < s \leq t$에 대해 상관 함수 $\mathrm{corr}(Z(t), Z(s))$를 유도하며, 지수 $1-H$를 가진 거듭제곱 법칙 감쇠를 보임을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 분수 Brown 운동(fBm)이 역 하위순서자에 의해 하위순서된 시간변경 fBm에 대한 상관 함수의 정확한 형태는 무엇인가요?
• RQ2 역 $\alpha$-안정분포 및 온화된 안정분포 하위순서자에 대해 시간 $t \to \infty$일 때 상관 구조는 어떻게 행동합니까?
• RQ3 상관 함수의 소시간 행동은 무엇이며, 히어스트 지수 $H$와 하위순서자 매개변수에 따라 어떻게 달라지나요?
• RQ4 하위순서자의 라플라스 지수에 따라 시간변경 프로세스의 이차모멘트 성질(공분산 및 분산)은 어떻게 달라지나요?
• RQ5 온화된 안정분포 하위순서자에 대해 상관 감쇠 속도를 $H$, $\alpha$, $a$에 따라 분석적으로 기술할 수 있나요?

주요 결과

• 시간변경 fBm의 공분산 함수는 $\mathbb{E}[Z(t)Z(s)] = \frac{\sigma^2}{2} \left( U^{2H}(s) + U^{2H}(t) - U^{2H}(|t-s|) \right)$ 로 주어지며, 여기서 $U(t) = \mathbb{E}[Y(t)]$는 역 하위순서자의 재생 함수이다.
• 역 $\alpha$-안정분포 하위순서자에 대해 $U(t) = \frac{t^\alpha}{\Gamma(1+\alpha)}$ 이고, $Z(t)$의 분산은 $t \to 0$일 때 $\mathrm{Var}(Z(t)) \sim \frac{\sigma^2 t^{2H\alpha}}{\Gamma(1+2H\alpha)}$ 로 행동한다.
• 장시간 $t \to \infty$ 일 때, 온화된 안정분포 하위순서자에 대해 $Z(t)$의 분산은 $\mathrm{Var}(Z(t)) \sim \frac{\sigma^2}{\alpha^{2H} a^{2H(\alpha-1)}} t^{2H}$ 로 증가한다.
• 장시간 $t \to \infty$ 일 때 $0 < s \leq t$에 대해 상관 $\mathrm{corr}(Z(t), Z(s))$ 는 $\sim \frac{1}{2} \left( \alpha^H a^{(\alpha-1)H} \frac{\sqrt{U^{2H}(s)}}{t^H} + \frac{2H \alpha^{1-H} a^{(\alpha-1)(1-H)} U(s)}{\sqrt{U^{2H}(s)}} \frac{1}{t^{1-H}} \right)$ 로 감쇠하며, 지수 $1-H$를 가진 거듭제곱 법칙 감쇠를 보인다.
• 특히 $H = 1/2$ 일 때, 상관 함수는 $t \to \infty$ 일 때 $\sim \frac{s^{\alpha/2}}{\sqrt{\Gamma(1+\alpha) U(t)}}$ 로 행동하며, $\alpha < 1$ 이면 느리게 감쇠함을 나타낸다.
• 장시간 근사에서 $H > 1/2$ 일 때 상관 함수는 장기적 의존성을 보이며, 임의의 $\gamma > 0$ 에 대해 $t^{-\gamma}$ 보다 느리게 감쇠한다.