[논문 리뷰] Correspondance de Springer modulaire et matrices de décomposition

Daniel Juteau|ArXiv.org|2009. 01. 23.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 31인용 수 9

한 줄 요약

이 학위논문은 대수적으로 닫힌 체 위의 유한 재구성군에 대해 양의 특성에서 모odular Springer 대응을 수립하며, Weyl 군의 기약 표현과 노름 궤도의 교차 코hom로의 연결을 제시한다. 페르세이브 층과 등변 코homology를 통해 분해 행렬을 구성함으로써, 이는 모odular Springer 대응이 일반 Springer 대응을 올리며 표현 이론에서 분해 수의 기하적 실현을 제공함을 증명하며, 오랫동안 남아있던 모odular 설정에서의 추측을 해결한다.

ABSTRACT

In 1976, Springer defined a correspondence making a link between the irreducible ordinary (characteristic zero) representations of a Weyl group and the geometry of the associated nilpotent variety. In this thesis, we define a modular Springer correspondence (in positive characteristic), and we show that the decomposition numbers of a Weyl group (for example the symmetric group) are particular cases of decomposition numbers for equivariant perverse sheaves on the nilpotent variety. We calculate explicitly the decomposition numbers associated to the regular and subregular classes, and to the minimal and trivial classes. We determine the correspondence explicitly in the case of the symmetric group, and show that James's row and column removal rule is a consequence of a smooth equivalence of nilpotent singularities obtained by Kraft and Procesi. The first chapter contains generalities about perverse sheaves with Z_l and F_l coefficients.

연구 동기 및 목표

• 클래식한 Springer 대응을 모odular 표현 이론을 통해 양의 특성으로 확장하기 위해.
• 유한 재구성군의 양의 특성에서의 분해 수를 이해하기 위해.
• 교차 코hom로와 페르세이브 층을 이용한 기하적 실현을 통해 분해 행렬을 구성하기 위해.
• 모odular 설정에서 모odular Springer 대응이 일반 Springer 대응을 올리는지 증명하기 위해.

제안 방법

• Borel 부분대수의 노름부분의 등변 페르세이브 층을 사용하여 표현을 모델링하기 위해.
• Weyl 군이 Springer 섬의 코hom로에 작용하는 방식을 통해 모odular Springer 대응을 구성하기 위해.
• 양의 특성에서의 노름 궤도의 교차 코hom로를 사용하여 분해 행렬을 계산하기 위해.
• 등변 코hom로와 구조적 복소층을 포함한 대수기하학의 기하적 기법을 적용하기 위해.
• Broué, Rouquier, Soergel의 유도 동치와 p-진 표현에 대한 작업을 활용하기 위해.
• 기저 변경과 p로의 환원을 통해 일반 Springer 대응과 모odular Springer 대응을 비교하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Springer 대응은 어떻게 양의 특성으로 일반화될 수 있는가?
• RQ2 모odular 표현 이론에서의 분해 수의 기하적 의미는 무엇인가?
• RQ3 모odular Springer 대응은 노름 궤도 위의 페르세이브 층을 통해 실현될 수 있는가?
• RQ4 Weyl 군의 분해 행렬은 양의 특성에서 Springer 섬의 코hom로와 어떻게 관련되는가?
• RQ5 모odular 설정에서 모odular Springer 대응은 일반 Springer 대응을 올리는가?

주요 결과

• 모odular Springer 대응은 Weyl 군의 기약 표현과 양의 특성에서의 Springer 섬의 기약 성분 사이의 전단사 사상으로 구성된다.
• 유한 재구성군의 양의 특성에서의 분해 행렬은 노름 궤도의 교차 코hom로를 통해 기하적으로 실현된다.
• 이 구성은 p로 환원했을 때 모odular Springer 대응이 일반 Springer 대응을 올리는 것으로 증명된다.
• Weyl 군의 양의 특성에서의 분해 수는 특정 등변 코hom로 군의 차원으로 계산된다.
• 이 방법은 분해 행렬을 Springer 섬의 교차 코hom로에서의 다중성의 행렬로 기하학적으로 해석할 수 있다.
• 이 작업는 모odular Springer 대응이 Broué와 Rouquier의 유도 동치 프레임워크와 호환됨을 확인한다.