[논문 리뷰] Corrigendum: On subadditivity of the logarithmic Kodaira dimension

Osamu Fujino|arXiv (Cornell University)|2019. 04. 26.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 9인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 Fujino(2017)의 로그 카이타라 차원의 하위加法성에 관한 논문에서 발생한 결함을 수정한다. 원래 증명은 모든 허위 효과적인 $\mathbb{R}$-분할에 대해 $\kappa_{\sigma} = \kappa_{\nu}$ 라는 잘못된 가정에 기반하였다. Lesieutre의 반례를 이용해, 저자는 약간 더 약한 부등식이 여전히 성립하고, 주요 적용 분야인 Iitaka의 하위加법성 추측과 일반화된 부유성 추측에 충분하다는 것을 보여준다. 수정된 부등식은 문헌에 있는 Corollaries 1.5와 1.6 및 관련 결과의 타당성을 유지한다.

ABSTRACT

John Lesieutre constructed an example satisfying $κ_σ e κ_ν$. This says that the proof of the inequalities in Theorems 1.3, 1.9, and Remark 3.8 in [O. Fujino, On subadditivity of the logarithmic Kodaira dimension, J. Math. Soc. Japan 69 (2017), no. 4, 1565--1581] is insufficient. We claim that some weaker inequalities still hold true and they are sufficient for various applications.

연구 동기 및 목표

• Fujino(2017)의 로그 카이타라 차원의 하위加법성에 대한 증명에서 발생한 결함을 해결함. 이 증명은 모든 허위 효과적인 $\mathbb{R}$-분할에 대해 $\kappa_{\sigma} = \kappa_{\nu}$ 라는 잘못된 가정에 의존하였다.
• John Lesieutre의 반례에 응답함. 이는 매끄러운 프로젝티브 3차원 다양체와 $\mathbb{R}$-분할 $D$에 대해 $\kappa_{\sigma}(D) = 1$ 이고 $\kappa_{\nu}(D) = 2$ 라는 것을 보여주며, 원래 증명을 무효화한다.
• Fujino(2017)의 정리 1.3과 1.9에 있는 부등식보다 약간 더 약한 부등식이 여전히 성립하고, 주요 적용 분야인 Iitaka의 하위加법성 추측에 충분하다는 것을 입증한다.
• Hashizume와 Gongyo-Lehmann의 관련 결과들이 타당하다는 것을 다시 확인하기 위해, 약간 더 약한 부등식이 그들의 증명에 충분하다는 것을 보여준다.
• Conjecture 1.4를 제안함. 이는 $\kappa_{\sigma}(X,D)$ 에 대한 다항식 성장 경계를 $h^0(X, \mathcal{O}_X(\lfloor m m_0 D \rfloor + A))$ 에 대해 제안하며, 만약 증명된다면 원래 부등식을 복원할 수 있다.

제안 방법

• Lesieutre의 반례를 사용하여, 일반적으로 $\kappa_{\sigma} = \kappa_{\nu}$ 가 성립하지 않음을 보여주며, 이는 [Fujino 2017, 정리 1.3]의 원래 증명을 무효화한다.
• Nakayama의 수치적 차원 이론과 전역 절단의 渐近적 행동을 이용해, 잘못된 $\kappa_{\sigma} = \kappa_{\nu}$ 가정에 의존하지 않는 방식으로 정리 1.3과 1.9의 부등식을 재구성한다.
• [Nakayama, 챕터 V, 3.7 정리]를 적용하여 더 약하지만 충분한 부등식을 유도함: $\kappa_{\sigma}(X,K_X+D_X) \geq \kappa_{\sigma}(F,K_F+D_X|_F) + \kappa(Y,K_Y+D_Y)$ 와 $\kappa_{\sigma}(X,K_X+D_X) \geq \kappa(F,K_F+D_X|_F) + \kappa_{\sigma}(Y,K_Y+D_Y)$.
• 동일한 방법으로 유도된 더 약한 부등식 (3.3)과 (3.4)가 [DHP, 비고 2.6]과 [GL, 정리 4.3]의 증명에 충분하다는 것을 보여준다. 이 증명들은 Nakayama의 부등식에 의존한다.
• 함수 $f(m)$ 과 $g(m)$ 에 대해 $\limsup f(m) > 0$ 이고 $\limsup g(m) > 0$ 이더라도 $\limsup f(m)g(m) > 0$ 이 되지 않을 수 있음을 관찰하여, 원래 증명이 왜 실패하고 왜 더 약한 경계가 필요한지 설명한다.
• Conjecture 1.4를 제안함. 이는 큰 $m$ 에 대해 $C m^{\kappa_{\sigma}(X,D)} \leq \dim H^0(X, \mathcal{O}_X(\lfloor m m_0 D \rfloor + A))$ 라는 다항식 하한 경계를 제안하며, 이 경우 원래 부등식이 복원된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 허위 효과적인 $\mathbb{R}$-분할에 대해 $\kappa_{\sigma} = \kappa_{\nu}$ 가 성립하지 않음으로써, Fujino(2017)의 로그 카이타라 차원의 하위加법성에 관한 주요 결과들이 무너지는가?
• RQ2 Fujino(2017)의 정리 1.3과 1.9에 있는 부등식보다 약간 더 약한 부등식이 여전히 Iitaka의 하위加법성 추측과 같은 주요 적용 분야에 충분한가?
• RQ3 부등식 $\kappa_{\sigma}(D + f^*Q) \geq \kappa_{\sigma}(D;X/Y) + \kappa(Q)$ 와 $\kappa_{\sigma}(D + f^*Q) \geq \kappa(D;X/Y) + \kappa_{\sigma}(Q)$ 가 [DHP, 비고 2.6]과 [GL, 정리 4.3]의 결과 타당성을 유지하는 데 충분한가?
• RQ4 원래 증명이 $\kappa_{\sigma} = \kappa_{\nu}$ 를 가정하지 않고 전역 절단의 수렴 행동에 대한 대체 渐近적 추정을 사용하여 수리될 수 있는가?
• RQ5 Conjecture 1.4는 참인가? 이는 $h^0(X, \mathcal{O}_X(\lfloor m m_0 D \rfloor + A))$ 에 대해 다항식 하한 경계를 제안하며, 만약 증명된다면 원래 부등식을 복원할 수 있는가?

주요 결과

• Fujino(2017)의 정리 1.3과 1.9의 원래 증명은 모든 허위 효과적인 $\mathbb{R}$-분할에 대해 $\kappa_{\sigma} = \kappa_{\nu}$ 라는 잘못된 가정에 기반하여 무효화되었다.
• Lesieutre의 예는 매끄러운 프로젝티브 3차원 다양체 $X$ 와 허위 효과적인 $\mathbb{R}$-분할 $D$ 를 제공하며, 이에 대해 $\kappa_{\sigma}(D) = 1$ 이고 $\kappa_{\nu}(D) = 2$ 이므로 일반적으로 $\kappa_{\sigma} \ne \kappa_{\nu}$ 라는 것을 증명한다.
• 정리 1.3과 1.9의 부등식보다 약간 더 약한 부등식이 여전히 성립한다: $\kappa_{\sigma}(X,K_X+D_X) \geq \kappa_{\sigma}(F,K_F+D_X|_F) + \kappa(Y,K_Y+D_Y)$ 와 $\kappa_{\sigma}(X,K_X+D_X) \geq \kappa(F,K_F+D_X|_F) + \kappa_{\sigma}(Y,K_Y+D_Y)$, 여기서 $F$ 는 일반적인 섹션이다.
• 이 약한 부등식은 [Fujino 2017, 추론 1.5와 1.6]에 충분하며, 원래 논문의 주요 적용 분야를 유지한다.
• Nakayama 이론과 [Nakayama, 챕터 V, 3.7 정리]를 이용해 유도된 부등식 (3.3)과 (3.4)는 원래 부등식 (3.1)이 실패했음에도 불구하고, [DHP, 비고 2.6]과 [GL, 정리 4.3]의 증명에 충분하다.
• Conjecture 1.4는 여전히 미해결 상태이다. 만약 참이라면, 큰 $m$ 에 대해 $C m^{\kappa_{\sigma}(X,D)} \leq \dim H^0(X, \mathcal{O}_X(\lfloor m m_0 D \rfloor + A))$ 라는 다항식 하한 경계를 유도할 수 있으며, 이는 원래 부등식을 복원할 것이다.