[논문 리뷰] Corrigendum to the paper, "A new iteration process for approximation of common fixed points for finite families of total asymtotically nonexpansive mappings". Int. J. Math. Math. Sci. vol. 2009, doi:10.1155/2009/615107

C.E. Chidume, Eric U. Ofoedu|arXiv (Cornell University)|2010. 11. 05.

Optimization and Variational Analysis참고 문헌 6인용 수 9

한 줄 요약

이 수정문은 이전 논문에서 유한한 수의 전체 점점 비확장성 사상에 대한 공통 고정점의 반복 근사에 관한 정리 3.5의 증명에 있는 결함을 수정한다. 강한 수렴성을 보장하기 위해 균일 연속성에 의존하지 않고, 컴팩트성과 균일하게 볼록한 바나흐 공간의 성질을 활용함으로써 더 약한 조건 하에서 반복 수열이 공통 고정점으로 수렴함을 입증한다.

ABSTRACT

A gap in the proof of Theorem 3.5 in the paper ``A new iteration process for approximation of common fixed points for finite families of total asymtotically nonexpansive mappings". Int. J. Math. Math. Sci. vol. 2009, doi:10.1155/2009/615107" is observed. The argument used on page 11, starting from line 8 from bottom to the end of the proof of the theorem is not correct. In this corrigendum, it is our aim to close this gap.

연구 동기 및 목표

• 원본 논문에서 공통 고정점의 반복 근사에 관한 정리 3.5의 증명에 존재하는 논리적 오류를 규명하고 수정하기.
• 유한한 수의 전체 점점 비확장성 사상의 가족에 의해 생성된 반복 수열의 수렴 결과의 타당성을 복원하기.
• 특히 $\|x_{n+1}-x_n\| \to 0$ 이면 $\|T^{n+1}x_{n+1}-T^{n+1}x_n\| \to 0$ 임을 주장하는 근거 없는 가정을 제거하기.
• 시퀀스 $\mu_{in}$ 과 $l_{in}$ 에 대한 컴팩트성과 합계 조건 하에서 반복 수열이 공통 고정점으로 강한 수렴함을 증명하기.
• 수정된 증명이 균일하게 볼록한 실수 바나흐 공간에서 최소한의 사상에 대한 가정으로도 유지됨을 보여주기.

제안 방법

• 반복 수열 $\{x_n\}$ 을 볼록 조합으로 재표현: $x_{n+1} = \alpha_{0n}x_n + \sum_{i=1}^m \alpha_{in}T_i^n x_n$, 여기서 $\alpha_{in} \in [0,1]$ 이고 $\sum_{i=0}^m \alpha_{in} = 1$.
• $\|x_{n+1} - x_n\| \to 0$ 를 $\|x_{n+1} - x_n\| \leq \gamma_2 \sum_{i=1}^m \|T_i^n x_n - x_n\|$ 의 유계성과 함께 증명하고, 레마 8의 함수 $g$ 의 성질을 통해 $\|T_i^n x_n - x_n\| \to 0$ 를 보임.
• 균일 연속성이 필요 없이, 한 사상 $T_i$ 의 컴팩트성 덕분에 수렴하는 부분수열 $T_i^{n_k}x_{n_k} \to x^*$ 를 추출함.
• $x_n$ 과 $T_i^n x_n$ 이 모두 $x^*$ 로 수렴하고, $T_i$ 가 연속이므로, 모든 $i$ 에 대해 $x^* = T_i x^*$ 를 유도함으로써 $x^* \in F$ 를 증명함.
• 정리 10 을 적용하여 임의의 $p \in F$ 에 대해 $\lim_{n\to\infty} \|x_n - p\|$ 가 존재함을 확인하고, $x^* \in F$ 로의 강한 수렴을 결론짓음.
• 예를 들어 $T(x) = 3x$ 과 $x_n = 1 + \frac{1}{n}$ 을 사용하여 $\|x_{n+1}-x_n\| \to 0$ 이면 $\|T^{n+1}x_{n+1}-T^{n+1}x_n\| \to 0$ 이라는 잘못된 주장이 반증됨.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 전체 점점 비확장성 사상에 대한 반복 수열 수렴에 관한 원본 논문의 정리 3.5 증명에서 존재하는 결함은 무엇인가?
• RQ2 사상들의 균일 연속성을 가정하지 않고도 반복 수열이 공통 고정점으로 강한 수렴할 수 있는가?
• RQ3 원래의 $\|x_{n+1}-x_n\| \to 0$ 이면 $\|T^{n+1}x_{n+1}-T^{n+1}x_n\| \to 0$ 이라는 주장에 기반한 추론이 제거되고 더 엄밀한 접근 방식으로 대체될 경우 수렴 결과는 여전히 유효한가?
• RQ4 $\mu_{in}$ 과 $l_{in}$ 시퀀스에 대해 어떤 조건에서 반복 방법이 공통 고정점으로 강한 수렴을 보이는가?
• RQ5 가족 내 한 사상의 컴팩트성은 균일 연속성 또는 더 강한 유계성 조건 없이도 수렴을 보장하는 데 사용될 수 있는가?

주요 결과

• 원본 논문의 정리 3.5 증명에는 심각한 오류가 존재한다: $\|x_{n+1}-x_n\| \to 0$ 이면 $\|T^{n+1}x_{n+1}-T^{n+1}x_n\| \to 0$ 이다 는 주장은 $T(x) = 3x$ 과 $x_n = 1 + \frac{1}{n}$ 의 반례로 잘못됨을 입증함.
• 수정된 증명은 레마 8의 함수 $g$ 의 성질을 활용하여 모든 $i = 1,2,\dots,m$ 에 대해 $\|T_i^n x_n - x_n\| \to 0$ 이 됨을 증명함.
• 한 사상 $T_i$ 가 컴팩트하다는 가정 하에서 반복 수열 $\{x_n\}$ 이 공통 고정점 $p \in F = \bigcap_{i=1}^m F(T_i)$ 로 강한 수렴함을 증명함.
• 수렴 결과는 균일하게 볼록한 실수 바나흐 공간에서 유효하며, 반복 수열은 $x_n$ 과 $T_i^n x_n$ 의 볼록 조합으로 정의됨.
• 증명은 더 이상 사상의 균일 연속성에 의존하지 않으며, 이는 이전 문헌에서의 핵심적 결함을 해결함.
• 수정된 정리 3.6 는 $\sum \mu_{in} < \infty$, $\sum l_{in} < \infty$, 그리고 한 $T_i$ 가 컴팩트할 때 강한 수렴을 확인하며, $\phi_i(\lambda_i) \leq M_i^* \lambda_i$ 를 $\lambda_i \geq M_i$ 에 대해 만족함.