[논문 리뷰] Cosemisimple Hopf algebras with antipode of arbitrary finite order

Julien Bichon|ArXiv.org|2002. 04. 18.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 13인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 특성 0인 대수적으로 닫힌 체 위에서, 비퇴화 이차형식과 관련된 보편 호프 대수를 이용하여, 임의의 유한한 짝수 차수 $2m$를 갖는 쌍대단순 호프 대수를 구성한다. 핵심 기여는 이전까지 알려지지 않았던 이러한 호프 대수의 존재성을 증명한 것으로, 이는 비적대적 경우에 카플란스키 추측에 대한 반례를 제공하고, 유한한 항등소 차수를 갖는 쌍대단순 호프 대수로의 프로베누스-슈어 지표 이론을 확장한다.

ABSTRACT

We show that there exists cosemisimple Hopf algebras of arbitrary finite even order. We also discuss the Schur indicator for such Hopf algebras.

연구 동기 및 목표

• 특성 0인 대수적으로 닫힌 체 위에서, 임의의 유한한 짝수 차수 $2m$를 갖는 쌍대단순 호프 대수를 구성한다.
• 유한 차원 쌍대단순 호프 대수에서 항등소의 적대성에 대한 카플란스키 추측에 대한 반례를 제공한다.
• 유한한 항등소 차수를 갖는 쌍대단순 호프 대수로의 프로베누스-슈어 지표 이론을 일반화한다.
• 이러한 호프 대수에서 기약 코모듈의 슈어 지표를 분석하고, $\pm1$을 초월하는 값이 가능함을 보여준다.

제안 방법

• 비퇴화 이차형식에 대응하는 행렬 $E \in GL_n(k)$를 이용하여 보편 호프 대수 $\mathcal{B}(E)$를 구성하고, $E^{-1}{}^t\!a E a = I = a E^{-1}{}^t\!a E$ 를 만족시킨다.
• 코승법 $\Delta(a_{ij}) = \sum_k a_{ik} \otimes a_{kj}$, 코단위 $\varepsilon(a_{ij}) = \delta_{ij}$, 항등소 $S(a) = E^{-1}{}^t\!a E$ 를 정의한다.
• 범주 동치 $\mathrm{Comod}(\mathcal{B}(E)) \cong^\otimes \mathrm{Comod}(\mathcal{O}(SL_q(2)))$ 를 이용하여, $q$ 가 단위근이 아니거나 $q = \pm1$일 때 쌍대단순성을 증명한다.
• 행렬 계수의 선형 독립성과 $\xi^k = 1$ 조건을 이용해, $S^{2m}(a) = a$ 이고 $S^{2k}(a) = a$ 이면 $m \mid k$ 라는 조건을 통해 항등소의 차수가 $2m$ 임을 보인다.
• 코모듈의 직교성 관계를 적용하여 슈어 지표 $\nu_2(V) = h(\chi_{V(1)}\chi_{V(2)})$ 를 정의하고, 이의 공식을 이차형식의 행렬 $E$ 로 표현한다.
• 항등소의 차수가 $2m$가 되도록 하기 위해, $E = \mathrm{AD}(\xi,1,1,1,1,1)$, $\xi$ 는 $m$차 원분근인 호프 대수 $\mathcal{B}(E)$ 를 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 특성 0인 대수적으로 닫힌 체 위에서, 임의의 유한한 짝수 차수 $2m$를 갖는 쌍대단순 호프 대수가 존재할 수 있는가?
• RQ2 비적대적 항등소를 갖는 쌍대단순 호프 대수의 예가 존재하는가? 즉, 비단순성 조건 하에서 카플란스키 추측을 반박하는가?
• RQ3 유한한 항등소 차수를 갖는 쌍대단순 호프 대수로의 프로베누스-슈어 지표 이론을 일반화할 수 있는가?
• RQ4 기약 코모듈에 대해 슈어 지표 $\nu_2(V)$ 가 $S^2 \neq \mathrm{id}$ 인 경우 어떤 값을 가질 수 있는가?
• RQ5 항등소의 차수가 4이고, 기약 코모듈 $V$ 에 대해 $\nu_2(V) = n$ 이 되는 쌍대단순 호프 대수를 구성할 수 있는가? 여기서 $n \geq 3$ 이고 홀수이다.

주요 결과

• 모든 $m \geq 1$ 에 대해, 특성 0인 대수적으로 닫힌 체 위에서 항등소의 차수가 정확히 $2m$인 쌍대단순 호프 대수가 존재한다. 이는 $E = \mathrm{AD}(\xi,1,1,1,1,1)$, $\xi$ 는 $m$차 원분근인 $\mathcal{B}(E)$ 를 통해 구성된다.
• 호프 대수 $\mathcal{B}(E)$ 의 항등소의 차수는 $2m$ 이다. 왜냐하면 $S^{2k}(a) = a$ 이면 $m \mid k$ 라는 조건을 만족시키며, 이는 행렬 계수 $a_{ij}$ 의 선형 독립성과 $\xi^k = 1$ 조건에 의해 보장되기 때문이다.
• 호프 대수 $\mathcal{B}(E)$ 는 $\mathrm{Comod}(\mathcal{B}(E)) \cong^\otimes \mathrm{Comod}(\mathcal{O}(SL_q(2)))$ 와 $\mathcal{O}(SL_q(2))$ 가 $q = \pm1$ 이거나 $q$ 가 단위근이 아닐 때 쌍대단순이므로 쌍대단순하다.
• 기본형 기약 코모듈 $V$ 에 대해 슈어 지표 $\nu_2(V) = \frac{\dim(V)}{\mathrm{tr}(E{}^tE^{-1})}$ 를 만족한다. 여기서 $E$ 는 $A$-선형 이차형식의 행렬이다.
• 항등소가 $S^2 = \mathrm{id}$ 를 만족할 경우, 슈어 지표는 $\pm1$ 이며, 이는 대칭 또는 반대칭 $A$-선형 이차형식에 대응한다.
• 항등소의 차수가 4이고, 차원이 $2n$ ($n$ 이 홀수) 인 기약 코모듈 $V$ 에 대해 $\nu_2(V) = n$ 이 되는 예가 구성되었으며, 이는 항등소 차수가 유한함에도 불구하고 지표의 절댓값이 1을 초월할 수 있음을 보여준다.