[논문 리뷰] Cosmological Krylov Complexity

Kiran Adhikari, Sayantan Choudhury|arXiv (Cornell University)|2022. 03. 27.

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 두 모드 양자 얽힘 상태 형식을 사용하여 디 de Sitter 공간 내 우주론적 변동에서 Krylov 복잡도와 혼돈을 조사한다. 여기서 효과적 음속 $ c_s $ 를 포함한다. Krylov 복잡도 $ K = \sinh^2 r_k $, Lancoz 계수 $ b_n \propto n $, 리아프노프 지수 $ \lambda = \sqrt{\left(\frac{k}{2}(1 - c_s^2)\right)^2 + \left(\frac{1}{\tau}\right)^2} $ 의 명시적 표현을 유도하며, Krylov 복잡도가 입자 수와 부피에 비례하고, Lancoz 계수의 선형 증가를 통해 시스템이 혼돈적 행동을 보임을 보여준다.

ABSTRACT

In this paper, we study the Krylov complexity ($K$) from the planar/inflationary patch of the de Sitter space using the two mode squeezed state formalism in the presence of an effective field having sound speed $c_s$. From our analysis, we obtain the explicit behavior of Krylov complexity ($K$) and lancoz coefficients ($b_n$) with respect to the conformal time scale and scale factor in the presence of effective sound speed $c_s$. Since lancoz coefficients ($b_n$) grow linearly with integer $n$, this suggests that universe acts like a chaotic system during this period. We also obtain the corresponding Lyapunov exponent $λ$ in presence of effective sound speed $c_s$. We show that the Krylov complexity ($K$) for this system is equal to average particle numbers suggesting it's relation to the volume. Finally, we give a comparison of Krylov complexity ($K$) with entanglement entropy (Von-Neumann) where we found that there is a large difference between Krylov complexity ($K$) and entanglement entropy for large values of squeezing amplitude. This suggests that Krylov complexity ($K$) can be a significant probe for studying the dynamics of the cosmological system even after the saturation of entanglement entropy.

연구 동기 및 목표

• 디 de Sitter 공간 내에서 두 모드 양자 얽힘 상태 형식을 사용하여 우주론적 변동에서 Krylov 복잡도와 양자 혼돈을 조사하는 것.
• 이전 결과를 일반화하기 위해 효과적 음속 $ c_s $ 를 포함함으로써 분석을 더 물리적으로 현실적으로 만드는 것.
• Krylov 복잡도가 얽힘 엔트로피 포화 이후에도 우주론적 역학을 탐사하는 데 유용한 탐사도구가 될 수 있는지 탐색하는 것.
• Krylov 복잡도와 부피 간의 관계를 분석하고, 헬로그래피의 '복잡도 = 부피' 추측에 대한 함의를 검토하는 것.
• 다양한 $ c_s $ 와 모드 파동수 $ k $ 에 대해 Krylov 복잡도와 리아프노프 지수를 수치적·해석적으로 계산하는 것.

제안 방법

• 확장하는 FLRW 배경에서 효과적 음속 $ c_s $ 를 고려한 스칼라 변동을 묘사하기 위해 두 모드 양자 얽힘 상태의 형식을 사용한다.
• 우주론적 변동에 대한 2차형 힘량함수를 유도하며, 이는 쌍곡 파rameter $ r_k $ 와 $ \phi_k $ 를 위한 미분방정식을 이끌어낸다.
• Krylov 복잡도는 Lancoz 알고리즘을 통해 계산되며, Lancoz 계수 $ b_n $ 는 재귀 관계로부터 추출된다.
• 리아프노프 지수는 $ \lambda = \sqrt{\left(\frac{k}{2}(1 - c_s^2)\right)^2 + \left(\frac{1}{\tau}\right)^2} $ 로 유도되며, 이는 모드에 따라 달라지는 혼돈을 나타낸다.
• 스케일 인자 $ a(\tau) $ 를 변수로 하는 미분방정식으로, 순환 시간 $ \tau $ 의 의존성을 갖는 방정식을 변환하여 수치적 해를 구한다.
• 수치적 통합을 위해 후기 시간($ a(\tau_0) = 1 $, $ r_k = \phi_k = 1 $)에서 경계 조건을 고정한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 효과적 음속 $ c_s $ 는 디 de Sitter 공간 내 우주론적 변동의 Krylov 복잡도에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ2 Lancoz 계수 $ b_n $ 의 행동은 어떠한가? 그들이 $ n $ 에 대해 선형 증가한다면, 이는 우주론적 시스템이 인플레이션 기간 동안 혼돈적 행동을 보임을 확인하는가?
• RQ3 리아프노프 지수는 $ c_s $ 와 모드 파동수 $ k $ 에 따라 어떻게 달라지며, 기존의 경계에 도달하는가?
• RQ4 이 우주론적 맥락에서 Krylov 복잡도는 입자 수나 시스템의 부피에 비례하는가?
• RQ5 큰 쌍곡 파라미터 근처에서 Krylov 복잡도는 얽힘 엔트로피(Von Neumann)와 어떻게 비교되는가?

주요 결과

• Krylov 복잡도는 정확히 $ \sinh^2 r_k $ 와 같으며, 이는 각 모드의 평균 입자 수에 해당하여 시스템 부피와의 직접적인 연관성을 나타낸다.
• Lancoz 계수는 $ n $ 에 대해 선형으로 증가하며, 이는 인플레이션 기간 동안의 우주론적 시스템이 혼돈적 행동을 보임을 확인한다.
• 리아프노프 지수는 $ \lambda = \sqrt{\left(\frac{k}{2}(1 - c_s^2)\right)^2 + \left(\frac{1}{\tau}\right)^2} $ 로 주어지며, $ k $ 와 $ c_s $ 양쪽 모두에 명시적인 의존성을 보이며, $ c_s = 1 $ 인 경우와는 다르다.
• $ c_s = 1 $ 일 경우 리아프노프 지수는 $ \lambda = \frac{1}{\tau} $ 로 줄어들며, 이는 $ \lambda = 2\pi T $ 의 경계와 일치하여 양자 혼돈 경계와 일치한다.
• 수치적 결과는 Krylov 복잡도와 리아프노프 지수가 $ c_s = 1 $ 에서의 값으로부터 아래로 경계됨을 보여주며, $ c_s = 1 $ 이 최소 혼돈 영역임을 나타낸다.
• Krylov 복잡도는 얽힘 엔트로피가 포화된 이후에도 여전히 우주론적 역학을 탐사하는 데 유효한 탐사도구로 남아 있으며, 이는 후기 시간의 양자 복잡도 연구에서의 유용성을 강조한다.