[논문 리뷰] Cosmological Polytopes and the Wavefunction of the Universe

Nima Arkani–Hamed, Paolo Benincasa외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 09. 08.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 10인용 수 80

한 줄 요약

이 논문은 우주의 늦은 시점(wavefunction)을 스칼라 토이 모델의 우주론 폴리토프의 정준 형식과 연결하고, 섭동 파동함수와 그 특이점들을 위한 기하학 기반 프레임워크를 확립한다.

ABSTRACT

We present a connection between the physics of cosmological time evolution and the mathematics of positive geometries, roughly analogous to similar connections seen in the context of scattering amplitudes. We consider the wavefunction of the universe in a class of toy models of conformally coupled scalars (with non-conformal interactions) in FRW cosmologies. The contribution of each Feynman diagram to the wavefunction of the universe is associated with a certain universal rational integrand, which we identify as the canonical form of a "cosmological polytope", which have an independent, intrinsic definition, making no reference to physics. The singularity structure of the wavefunction for this model of scalars is common to all theories, and is geometrized by the cosmological polytope. Natural triangulations of the polytope reproduce the path-integral and "old-fashioned perturbation theory" representations of the wavefunction, and we also find new representations of the wavefunction with no extant physical interpretation. We show in suitable examples how symmetries of the cosmological polytope descend to symmetries of the wavefunction, (such as conformal invariance). In cases such as $ϕ^3$ theory in $dS_4$, the final wavefunction obtained from integration of the rational functions gives rise to polylogarithms associated with every graph. We give an explicit expression for the symbol of these polylogs, which record the geometry of sequential projections of the cosmological polytope.

연구 동기 및 목표

• 우주론 시간 진화와 우주 파동함수 사이의 연결을 동기 부여하고 형식화한다.
• 시간에 의존하지 않는 객체로서의 우주론 폴리토프를 도입하고, 그 정준 형식이 파동함수 적분을 제공한다.
• 삼각분할과 이중 폴리토프가 벌크 시간 적분 및 구식 섭동 이론과 대응함을 보인다.
• 특정 모형에서의 대칭성과 다중로그 구조를 보여주고, 폴리토프 기하를 파동함수 성질과 관련시킨다.

제안 방법

• FRW 우주론에서 시간 의존 결합을 갖는 토이 스칼라장 모형의 클래스를 정의한다.
• 각 페인먼 다이어그램에 연관된 보편적 유리적 적분함수 psi(x_v,y_e)를 도출하며 파동함수를 섭동적으로 계산한다.
• 그래프로부터의 우주론 폴리토프를 도입하고, 꼭짓점은 x_v 및 y_e 기준 벡터로 주어지며 그래프 간선마다 3E 개의 폴리토프 꼭짓점을 가진다.
• 폴리토프의 정준 형태를 이용해 모든 면에서 로그 특이점을 갖는 파동함수 적분함수를 얻는다.
• 폴리토프 및 그 이중 폴리토프의 자연스러운 삼각분할을 통해 시간 적분 표현과 구식 섭동 이론을 연결한다.
• 컨투어 적분과 푸시-포워드에 의한 새로운 표현을 우주론 맥락에 적용 가능하도록 논의한다.
• 특히 디 Sitter 맥락에서의 컨포멀 불변성 등 대칭성의 함의를 제시하고, 특정 이론들에서 다중로그 구조를 추출하기 시작한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 우주 파동함수를 양의 기하학의 정준 형식으로 다시 표현하는 방법은 무엇인가?
• RQ2 우주 시간 진화와 우주론 폴리토프의 기하학적 구조 사이의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ3 우주론 폴리토프의 서로 다른 삼각분할은 벌크 시간 적분과 경계 섭동 이론과 어떻게 관련되는가?
• RQ4 우주론 폴리토프의 어떤 대칭이 파동함수로 내려오며 디 Sitter 상관관계에서 어떻게 나타나는가?
• RQ5 예를 들어 c6^3 theory in dS4 같은 특정 모형에서 최종 파동함수의 성격을 다중로그와 그 기호(symbol) 측면에서 어떻게 나타내는가?

주요 결과

• 각 페인먼 다이어그램은 우주론 폴리토프의 정준 형식과 동일하게 식별될 수 있는 보편적 유리적 적분함수를 기여한다.
• 폴리토프의 삼각분할은 벌크 시간 적분 표현에 대응하고, 이중 폴리토프 삼각분할은 구식 섭동 이론을 재현한다.
• 컨투어 적분과 푸시-포워드를 통한 새로운 폴리토프 표현은 직접적인 물리적 해석 없이도 대체 파동함수 표현을 산출한다.
• 우주론 폴리토프의 대칭성은 디 Sitter 공간에서의 컨포멀 불변성과 같이 파동함수의 대칭으로 나타난다.
• dS4의 φ^3 이론에서 적분된 파동함수는 다중로그적이며, 폴리토프의 순차 프로젝션 기하를 인코딩하는 계산 가능한 기호를 가진다.