[논문 리뷰] Cost-Based Intuitionist Probabilities on Spaces of Graphs, Hypergraphs and Theorems

Ben Goertzel|arXiv (Cornell University)|2017. 03. 13.

Advanced Algebra and Logic참고 문헌 6인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 기본 연산 또는 규칙 체계를 통해 최소 전환 비용을 통해 부분 순서를 정의하여 그래프, 초그래프 및 정리에 비용 기반의 이 intuitionistic 확률 측도를 도입한다. 이 비용 기반 평가가 Knuth와 Skilling의 대칭성 공리(axiom)를 만족함을 입증하여 격자 연산을 존중하고, 초그래프 표현을 통해 논리적 정리에 대한 직관적 확률을 가능하게 하는 확률 유사 측도를 도출한다.

ABSTRACT

A novel partial order is defined on the space of digraphs or hypergraphs, based on assessing the cost of producing a graph via a sequence of elementary transformations. Leveraging work by Knuth and Skilling on the foundations of inference, and the structure of Heyting algebras on graph space, this partial order is used to construct an intuitionistic probability measure that applies to either digraphs or hypergraphs. As logical inference steps can be represented as transformations on hypergraphs representing logical statements, this also yields an intuitionistic probability measure on spaces of theorems. The central result is also extended to yield intuitionistic probabilities based on more general weighted rule systems defined over bicartesian closed categories.

연구 동기 및 목표

• 그래프나 정리와 같은 집합론적 기초를 초월한 비집합적 실체를 위한 확률 프레임워크를 개발하기 위해.
• 분해 불가능한 그래프에서부터의 최소 비용 전환 시퀀스를 기반으로 그래프 공간에 대한 새로운 부분 순서를 정의하기 위해.
• Knuth와 Skilling의 대칭성 공리를 만족하는 직관적 확률 측도를 구성하여 추론을 위한 프레임워크를 제공하기 위해.
• 논리적 정리를 초그래프로 모델링하고 추론을 초그래프 전환으로 간주함으로써 이 프레임워크를 논리적 정리로 확장하기 위해.
• 모든 이중카르티esian 폐쇄 범주에 대해 이 접근을 일반화하고, 가중 전환 체계를 갖춘 프레임워크를 제공하기 위해.

제안 방법

• 분해 불가능한 기저에서 그래프를 생성하는 데 필요한 기본 전환(예: 호모모르피즘)의 수를 최소화하여 방향 그래프와 초그래프에 대한 비용 기반 부분 순서를 정의한다.
• 합이 분리된 합집합이고, 만남이 직접 곱인 그래프 공간 위의 Heyting 대수 구조를 사용하여 논리적 및 확률적 연산을 모델링한다.
• Knuth와 Skilling의 추론 공리—단조성, 결합법칙, 복합 규칙—을 적용하여 격자 연산 하에서 확률처럼 행동하는 평가를 유도한다.
• 각 전환 규칙이 관련된 비용을 갖는 규칙 체계에 대해, 한 그래프에서 다른 그래프로의 전환 비용을 이러한 규칙의 최소 비용 시퀀스로 정의한다.
• 논리적 문장을 레이블링된 가중 초그래프로 모델링하고, 추론을 초그래프 전환으로 간주함으로써 증명 길이에 기반한 정리에 대한 확률 할당을 가능하게 한다.
• 이를 모든 이중카르티esian 폐쇄 범주에 일반화하며, 특별히 정의된 사상 집합(규칙)을 갖는 범주에 적용 가능하게 하여 그래프를 초월한 더 넓은 범주적 구조에 적용 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 집합론적 축소에 의존하지 않고도 그래프 및 정리의 공간에 의미 있는 확률 측도를 정의할 수 있는가?
• RQ2 최소 전환 비용을 사용하여 그래프 공간에 부분 순서를 어떻게 구성할 수 있으며, 이는 격자 연산과 어떻게 상호작용하는가?
• RQ3 그래프에 대한 비용 기반 평가가 Knuth와 Skilling이 규명한 일관된 확률 이론을 위해 요구하는 대칭성 공리를 만족하는가?
• RQ4 이 프레임워크는 초그래프 표현을 통해 논리적 추론을 모델링하고 정리에 대해 직관적 확률을 할당할 수 있도록 확장될 수 있는가?
• RQ5 이러한 확률 구성은 전이 규칙을 갖는 임의의 이중카르티esian 폐쇄 범주로 어떻게 일반화될 수 있는가?

주요 결과

• 분해 불가능한 기저에서 그래프를 구성하는 데 필요한 기본 전환의 수를 최소화함으로써 그래프에 대한 비용 기반 부분 순서를 정의하였으며, 이는 격자 연산과의 호환성을 보장한다.
• 비용 기반 평가가 Knuth와 Skilling의 대칭성 공리를 만족함을 입증하여, 곱 법칙, 포함-배제 원리, 조건부 확률이 빈도 유사 특성으로 표현되는 확률 측도를 구성할 수 있다.
• 가중 전환을 갖는 규칙 체계에서는 그래프의 확률이 축약된 축약 비용 시퀀스의 역수 비례로 표현되며, 이는 비정규화된 직관적 확률을 도출한다.
• 논리적 정리를 초그래프로 표현한 경우, 이 프레임워크는 가장 짧은 증명 길이의 역수 비례로 확률을 할당하여 정리 공간에 대한 새로운 직관적 측도를 제공한다.
• 이 구성은 비용 기반 전환 규칙 집합을 갖는 임의의 이중카르티esian 폐쇄 범주로 일반화되며, 이는 더 넓은 범주적 및 논리적 맥락에서 확률 프레임워크를 적용 가능하게 한다.
• 결과로 도출된 확률 측도는 직관적 확률이므로, 직관적 논리와 Heyting 대수 구조와 일치하며, 복잡한 시스템과 인공지능에서의 불확실한 추론을 위한 기초를 제공한다.