[논문 리뷰] Countably-Normed Spaces, Their Dual, and the Gaussian Measure

Jeremy J. Becnel|ArXiv.org|2004. 07. 12.

Advanced Topology and Set Theory참고 문헌 5인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 가산 노름을 가진 공간과 그 위상의 구조를 이용하여 핵 공간의 쌍대공간 위에 가우시안 측도를 구성하는 이론적 기반을 수립한다. 약한, 강한, 유도 위상이 생성하는 동일한 σ-체를 생성함을 증명함으로써, 민로스의 정리를 통해 쌍대공간 위에 유일한 표준 가우시안(화이트 노이즈) 측도를 구성할 수 있으며, 이는 화이트 노이즈 분석의 기초가 된다.

ABSTRACT

Here we present an overview of countably-normed spaces. We discuss the main topologies--weak, strong, and inductive--placed on the dual of a countably-normed space and discuss the sigma-fields generated by these topologies. In particular, we show that under certain conditions the strong and inductive topologies coincide and the sigma-fields generated by the weak, strong, and inductive topologies are equal. With these sigma-fields, we develop a Gaussian measure on the dual of a nuclear space. The purpose in mind is to provide the background material for many of the results used is White Noise Analysis.

연구 동기 및 목표

• 무한차원 쌍대공간 위에 가우시안 측도를 정의하기 위한 위상 및 측도론적 프레임워크를 개발하는 것.
• 일부 조건 하에서 가산 노름을 가진 공간의 쌍대공간 위의 약한, 강한, 유도 위상이 생성하는 σ-체가 일치하는지 보여주는 것.
• 힐베르트-슈미트 연산자와 정규직교 기저를 이용하여 핵 공간의 쌍대공간 위에 유일한 표준 가우시안 측도를 구성하는 것.
• 무한차원 확률론과 확률적 과정에서 화이트 노이즈 분석을 위해 필요한 기초 도구를 제공하는 것.

제안 방법

• 양의 힐베르트-슈미트 연산자에 의해 유도되는 감소하는 노름을 가진 힐베르트 공간들의 교차로 가산 노름을 가진 공간을 정의한다.
• 쌍대공간에 약한, 강한, 유도 위상을 부여하고, 핵성 조건 하에서 이들이 생성하는 σ-체가 동일함을 증명한다.
• 각 좌표에서 독립적인 표준 가우시안을 사용하여 ℝ^W 위에 곱 가우시안 측도 ν를 구성하며, 가중치 합의 유한한 모멘트를 확보한다.
• 원래 힐베르트 공간 E의 정규직교 기저 {e_j}에 의해 유도되는 동형사상에 의해 측도 ν를 쌍대공간 ℰ′로 이전한다.
• 좌표 사영의 역상에 의해 ℰ′ 위의 σ-체를 정의하며, 이는 약한 위상과 일치하고 강한 및 유도 위상에 의해 생성되는 σ-체와도 같다.
• 민로스의 정리를 적용하여, 각 평가 함수의 특성 함수 ∫e^{it⟨f,e_j⟩}dμ(f) = e^{-t²/2}를 만족하는 ℰ′ 위에 존재하는 유일한 확률 측도 μ가 존재함을 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 가산 노름을 가진 공간의 쌍대공간 위에서 강한 위상과 유도 위상이 일치하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 핵 공간의 쌍대공간 위에서 약한, 강한, 유도 위상이 생성하는 σ-체 간의 관계는 무엇인가?
• RQ3 힐베르트-슈미트 연산자로부터 유도되는 핵 공간의 쌍대공간 위에 가우시안 측도를 일관되게 정의할 수 있는 방법은 무엇인가?
• RQ4 정규직교 기저와 힐베르트-슈미트 임bedding은 화이트 노이즈 측도를 구성하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 ℝ^W 에서의 곱 가우시안 측도의 역상은 어떻게 하여 핵 공간의 쌍대공간 위에 잘 정의된 확률 측도를 유도하는가?

주요 결과

• 핵성 조건 하에서 가산 노름을 가진 공간의 쌍대공간 위의 강한 위상과 유도 위상은 감소하는 힐베르트 공간 노름의 구조에 의해 일치함을 보였다.
• 핵 공간의 쌍대공간 위에서 약한, 강한, 유도 위상이 생성하는 σ-체는 동일하며, 이는 일관된 측도론적 프레임워크를 가능하게 한다.
• 각 평가 함수성분 f ↦ f(e_j)의 특성 함수가 e^{-t²/2}임을 만족하는 ℰ′ 위에 존재하는 유일한 표준 가우시안 측도 μ가 존재한다. 이는 표준 가우시안 성질을 만족한다.
• 측도 μ는 모든 p ≥ 1에 대해 F_{-p} 위에 지지되어 있으며, 이는 쌍대공간이 거의 확실히 가중치 λ_j^{2p}를 가진 ℓ² 공간에 포함됨을 의미한다.
• 이러한 구성은 E와 ℰ′ 위의 제곱 integrable 함수성분들의 공간 사이의 표준 동형사상을 실현함으로써 화이트 노이즈 분석을 위한 엄밀한 기초를 제공한다.
• 최종적으로 유도된 측도 μ는 ∫e^{it⟨f,ξ⟩}dμ(f) = e^{-t²|ξ|²/2} 를 모든 ξ ∈ E 및 t ∈ ℝ 에 대해 만족하는 표준 화이트 노이즈 측도이다.