[논문 리뷰] Counterexamples for Local Isometric Embedding

Nikolaï Nadirashvili, Yu Yuan|ArXiv.org|2002. 08. 16.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 4인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 2차원 평면 $B_1 \subset \mathbb{R}^2$ 위에 매끄러운 리만 계량을 구성하여, 비음성 또는 부호가 변화하는 가우스 곡률을 가짐에도 불구하고 $\mathbb{R}^3$ 속에 국소적으로 $C^3$ 또는 $C^{3,\alpha}$ 등급의 등거리 임bedding을 가질 수 없음을 보여준다. 이 구성은 원점 근처에서 평탄한 계량을 반복적이고 척도 불변적인 방식으로 수정함으로써 이루어지며, 이로 인해 두 번째 기본형식이 원점과 중첩된 링형 영역에서 0이 되게 하여, 등거리 임bedding이 존재한다고 가정할 경우 최대 원리에 의해 모순이 발생한다.

ABSTRACT

We construct smooth metrics on 2-manifold with nonpositive Gauss curvature which cannot be (C^3) locally isometrically embedded in R^3. Moreover, the Gauss curvature of the metric can be made negative except for one point.

연구 동기 및 목표

• 매끄러운 계량 $g$가 존재하여 $B_1 \subset \mathbb{R}^2$ 위에 정의되어 있고, 비음성 가우스 곡률을 가짐에도 불구하고 $\mathbb{R}^3$ 속에 국소적으로 등거리 임bedding이 불가능함을 보이는 것.
• 이전의 반례를 확장하여 $K_g \leq 0$ 이며 $K_g(0) = 0$, $K_g(x) < 0$ for $x \neq 0$ 를 만족하는 계량을 구성함으로써, 여전히 $C^{3,\alpha}$ 등거리 임bedding에 저항함을 보이는 것.
• 비임베딩 가능한 국소 계량을 중첩된 링형 영역에 반복적으로 임베딩하는 구조적이고 척도 불변적인 방법을 제공하여, 원점 근처에서의 전역적인 비임베딩 가능성을 보장하는 것.
• 가우스 곡률의 부호 조건만으로도 $\mathbb{R}^3$ 속에 국소적으로 등거리 임bedding이 보장되는지 여부라는 열린 문제를 해결하기 위해, 유리한 곡률 조건 하에서도 반례를 제시하는 것.

제안 방법

• 중첩된 링형 영역 $A^n = B_{1/n} \setminus B_{1/(n+1)}$ 에서 평탄한 계량 $dx^2$ 를 수정하여 $g = e^{2u} dx^2$ 를 구성함. 이때는 컴actsupport를 가진 매끄러운 커파이어 함수 $\varphi_n$ 를 사용한다.
• 수정된 계량이 전역적으로 $K_g \leq 0$ 가 되도록 하기 위해 수정 영역에 '꼬리'를 추가함으로써, 비음성 곡률을 유지하면서 국소적 비임베딩 가능성을 유도한다.
• 재귀적 구성 방법을 사용: 각 $n$ 에 대해 $A^n$ 위에서 $C^3$-임베딩이 불가능한 계량을 정의하고, 편향의 진폭 $\mu_n$ 을 척도에 따라 조정하여 전역 계량 $g = e^{2(u_0 + v)}dx^2$ 가 매끄럽게 유지되도록 한다.
• 가능한 등거리 임베딩의 그래프 표현 $x_3 = f(x_1,x_2)$ 에 대해 최대 원리를 적용함: 만약 $D^2f = 0$ 이 $\partial\Omega$ 에서 성립하고 $\det D^2f < 0$ 가 $\Omega$ 내부에서 성립한다면, $f \equiv 0$ 이 되며, 이는 등거리 임베딩의 존재를 모순시킴.
• 가상의 등거리 임베딩의 $C^{3,\alpha}$ 등급을 수치화하기 위해 $\| (\Omega,g) \|_E = \inf \| II(i(\Omega)) \|_{C^{1,\alpha}}$ 를 정의하고, 각 링형 영역 $A^n$ 에서 이 값이 발산함을 보여, 원점 근처에서의 $C^{3,\alpha}$ 임베딩이 불가능함을 증명한다.
• 수열 $\eta_n \to 0$ 을 사용하여 전역 계량 $g = g_\Psi$ 를 구성함으로써, $\| (A^n, g) \|_E \geq n$ 이 되도록 하여, 원점 근처에서 어떤 $r > 0$ 에 대해서도 $C^{3,\alpha}$ 임베딩이 존재하지 않음을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비음성 곡률을 가진 매끄러운 계량 $g$ 가 존재하여 $B_1 \subset \mathbb{R}^2$ 위에 정의되어 있을 때, $\mathbb{R}^3$ 속에 국소적으로 $C^3$ 등거리 임베딩이 불가능할 수 있는가?
• RQ2 $K_g(0) = 0$ 이고 $x \neq 0$ 에서는 $K_g(x) < 0$ 인 매끄러운 계량이 존재하여, 원점 근처에서 $C^{3,\alpha}$ 등거리 임베딩에 저항할 수 있는가?
• RQ3 비임베딩 가능한 국소 계량을 중첩된 링형 영역에 반복적으로 임베딩하여, 전역적으로도 원점에서 비임베딩 가능성을 유지하는 계량을 구성할 수 있는가?
• RQ4 두 번째 기본형식이 원점에서 0이 아니라고 가정할 경우, $C^3$ 또는 $C^{3,\alpha}$ 임베딩이 존재한다고 가정할 때 최대 원리에 의해 모순이 발생하는가?
• RQ5 $C^{3,\alpha}$ 임베딩 노름을 링형 영역 $A^n$ 에서 임의로 크게 만들 수 있는가? 이를 통해 전체 구 $B_r(0)$ 에 대한 국소 $C^{3,\alpha}$ 임베딩이 불가능한가?

주요 결과

• 매끄러운 계량 $g$ 가 존재하여 $B_1 \subset \mathbb{R}^2$ 위에 정의되어 있고, $K_g \leq 0$ 를 만족함에 따라, 어떤 $r > 0$ 에 대해서도 $B_r(0)$ 의 $C^3$ 등거리 임베딩이 $\mathbb{R}^3$ 속에 존재하지 않음을 보여, 정리 1.1을 증명한다.
• 매끄러운 계량 $g$ 가 존재하여 $B_1$ 위에 정의되어 있고, $K_g(0) = 0$ 이며 $x \neq 0$ 에서는 $K_g(x) < 0$ 를 만족함에 따라, 어떤 $r > 0$ 과 $\alpha > 0$ 에 대해서도 $B_r(0)$ 의 $C^{3,\alpha}$ 등거리 임베딩이 $\mathbb{R}^3$ 속에 존재하지 않음을 보여, 정리 1.2를 증명한다.
• 구성에 의해 모든 $n \in \mathbb{N}$ 에 대해 $\| (A^n, g) \|_E \geq n$ 이 성립함을 보장하여, $C^{3,\alpha}$ 임베딩 노름이 발산함을 보여, 원점 근처에서의 임베딩이 불가능함을 의미한다.
• 전역 계량 $g = g_\Psi$ 는 매끄럽고 $B_1$ 위에서 $K_g \leq 0$ 를 만족하며, $x \neq 0$ 에서는 $K_g(x) < 0$, $K_g(0) = 0$ 이므로 곡률 조건이 국소적 $C^{3,\alpha}$ 임베딩 가능성을 보장하지 못함을 확인한다.
• 등거리 임베딩이 존재한다고 가정할 경우 발생하는 모순은 다음과 같다: 두 번째 기본형식이 도메인 $\Omega$ 의 경계에서 0이 되며, 그래프 함수 $f$ 의 헤시안이 $\partial\Omega$ 에서 0이 되므로 최대 원리에 의해 $f \equiv 0$ 이 되며, 이는 곡률 조건 $\det D^2f < 0$ 와 모순된다.
• 이 방법은 단순히 $C^\infty$ 뿐 아니라, 모든 $\epsilon \in l^\infty$ 에 대해 $\sum_{n=1}^\infty \epsilon_n \varphi_n$ 가 매끄럽게 유지되도록 하여, 최종 계량 $g$ 의 전역적 매끄러움을 보장한다.