[논문 리뷰] Counterexamples to the List Square Coloring Conjecture

Seog‐Jin Kim, Boram Park|arXiv (Cornell University)|2013. 05. 12.

Advanced Graph Theory Research참고 문헌 7인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 모든 소수 $ n \geq 3 $에 대해, $ G^2 $가 완전 다중분할 그래프 $ K_{n*(2n-1)} $가 되는 그래프 $ G $를 구성함으로써 리스트 제곱 색칠 추측을 반증한다. $ \chi_l(G^2) - \chi(G^2) \geq n-1 $임을 보여, 무수히 많은 반례를 제시하고, 그래프 제곱에서 리스트 색칠 수와 색칠 수 사이의 격차가 임의로 클 수 있음을 입증한다.

ABSTRACT

The square $G^2$ of a graph $G$ is the graph defined on $V(G)$ such that two vertices $u$ and $v$ are adjacent in $G^2$ if the distance between $u$ and $v$ in $G$ is at most 2. Let $χ(H)$ and $χ_l(H)$ be the chromatic number and the list chromatic number of $H$, respectively. A graph $H$ is called {\em chromatic-choosable} if $χ_l (H) = χ(H)$. It is an interesting problem to find graphs that are chromatic-choosable. Kostochka and Woodall \cite{KW2001} conjectured that $χ_l(G^2) = χ(G^2)$ for every graph $G$, which is called List Square Coloring Conjecture. In this paper, we give infinitely many counterexamples to the conjecture. Moreover, we show that the value $χ_l(G^2) - χ(G^2)$ can be arbitrary large.

연구 동기 및 목표

• 모든 그래프 $ G $에 대해 $ \chi_l(G^2) = \chi(G^2) $임을 주장하는 리스트 제곱 색칠 추측을 반증하기 위해.
• $ \chi_l(G^2) > \chi(G^2) $인 명시적 반례를 구성하여 추측을 반박하기 위해.
• $ \chi_l(G^2) - \chi(G^2) $의 차이가 임의로 클 수 있음을 보여주기 위해.
• 완전 다중분할 그래프 $ K_{n*(2n-1)} $가 이러한 반례를 생성하는 데 핵심적인 구조로 기능할 수 있음을 규명하기 위해.

제안 방법

• 정점 집합 $ P $에 $ n^2 $개, $ Q $에 $ n(n-1) $개의 정점으로 구성된 그래프 $ G $를, 차수 $ n $의 수직 라틴 제곱을 통해 간선을 정의한다.
• $ i \in [n-1] $에 대해 $ L_i(j,k) = j + i(k-1) \mod n $으로 정의하여, $ n $이 소수일 경우 $ n-1 $개의 상호 수직 라틴 제곱의 집합을 형성한다.
• $ G^2 $에서 $ P $에 의해 유도되는 부분그래프는 $ K_{n*n} $이며, 부분집합 $ P_1, \dots, P_n $을 포함하고, $ Q $에 의해 유도되는 부분그래프는 $ K_{n*(n-1)} $이며, 부분집합 $ Q_1, \dots, Q_{n-1} $을 포함한다.
• 간선을 분리한 클리크 분해와 세기 수치를 이용해 $ G^2 $가 $ 2n-1 $개의 크기가 $ n $인 부분집합을 가진 완전 다중분할 그래프 $ K_{n*(2n-1)} $과 동형임을 보인다.
• 정리 2.10을 적용하여 $ K_{n*(2n-1)} $의 리스트 색칠 수를 유계함을 보이며, $ \chi_l(K_{n*(2n-1)}) > (n-1)\lfloor (4n-3)/n \rfloor \geq 3(n-1) $임을 도출한다.
• 결론적으로 $ \chi_l(G^2) - \chi(G^2) \geq n-1 $임을 도출하며, 모든 소수 $ n \geq 3 $에 대해 등호가 성립할 수 있음을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 리스트 제곱 색칠 추측을 위반하는 그래프 $ G $가 존재하는가? 즉, $ \chi_l(G^2) \neq \chi(G^2) $인가?
• RQ2 $ \chi_l(G^2) - \chi(G^2) $의 차이를 임의로 크게 만들 수 있는가?
• RQ3 리스트 제곱 색칠 추측에 대해 무수히 많은 반례가 존재하는가?
• RQ4 완전 다중분할 그래프 $ K_{n*(2n-1)} $는 어떤 그래프 $ G $의 $ G^2 $로 표현될 수 있는가?

주요 결과

• 모든 소수 $ n \geq 3 $에 대해, $ G^2 = K_{n*(2n-1)} $인 그래프 $ G $가 존재한다. 이는 크기가 $ n $인 부분집합 $ 2n-1 $개를 가진 완전 다중분할 그래프이다.
• 색칠 수 $ \chi(G^2) = 2n-1 $이며, $ K_{n*(2n-1)} $는 적절한 색칠을 위해 $ 2n-1 $개의 색이 필요하다.
• 리스트 색칠 수 $ \chi_l(G^2) > (n-1)\lfloor (4n-3)/n \rfloor \geq 3(n-1) $이며, 이는 $ \chi_l(G^2) - \chi(G^2) \geq n-1 $임을 의미한다.
• 소수 $ n $이 증가함에 따라 $ \chi_l(G^2) - \chi(G^2) $의 격차는 임의로 클 수 있다.
• 소수가 무수히 많기 때문에 리스트 제곱 색칠 추측에 대해 무수히 많은 반례가 존재한다.
• 이 구성은 $ n $이 소수일 경우 존재하는 $ n-1 $개의 상호 수직 라틴 제곱의 존재성에 의존한다.