[논문 리뷰] Counterexamples to the topological Tverberg conjecture

Florian Frick|arXiv (Cornell University)|2015. 02. 01.

Topological and Geometric Data Analysis참고 문헌 10인용 수 45

한 줄 요약

이 논문은 모든 정수 $ r \geq 6 $ 이며 소수의 거듭제곱이 아니며 차원 $ d \geq 3r+1 $ 인 경우에 대해 위상적 Tverberg 추측의 명백한 반례를 구축한다. Mabillard와 Wagner의 일반화된 van Kampen 정리와 Özaydin의 등변성 장애 이론을 조합하여, 고차원 단체에서 유럽 공간으로의 연속적인 사상이 Tverberg 유형의 일치를 피할 수 있음을 보여, 이러한 경우에 추측이 반증됨을 입증한다.

ABSTRACT

The "topological Tverberg conjecture" by Bárány, Shlosman and Szűcs (1981) states that any continuous map of a simplex of dimension $(r-1)(d+1)$ to $\mathbb{R}^d$ maps points from $r$ disjoint faces of the simplex to the same point in $\mathbb{R}^d$. This was established for affine maps by Tverberg (1966), for the case when $r$ is a prime by Bárány et al., and for prime power $r$ by Özaydin (1987). We combine the generalized van Kampen theorem announced by Mabillard and Wagner (2014) with the constraint method of Blagojević, Ziegler and the author (2014), and thus prove the existence of counterexamples to the topological Tverberg conjecture for any number $r$ of faces that is not a prime power. However, these counterexamples require that the dimension $d$ of the codomain is sufficiently high: the smallest counterexample we obtain is for a map of the $100$-dimensional simplex to $\mathbb{R}^{19}$, for $r=6$.

연구 동기 및 목표

• 모든 정수 $ r \geq 6 $ 이며 소수의 거듭제곱이 아닌 경우에 대해 위상적 Tverberg 추측을 반증하기.
• 이전에 알려진 소수의 거듭제곱 사례를 초월하여 추측의 실패를 확장하기.
• 서로소 면을 포함하는 고차원 단체에서의 연속적 사상이 $ r $-겹의 이미지 교차를 피하도록 구성하기.
• 제약 방법과 등변성 장애 이론이 이러한 반례를 체계적으로 생성하는 데 사용될 수 있음을 보여주기.
• 일般적인 $ r $ 에 대해 추측의 타당성에 관한 위상수학적 조합론의 오랜 열린 문제를 해결하기.

제안 방법

• Mabillard와 Wagner의 일반화된 van Kampen 정리를 활용하여, $ r $-서로소 면 사상의 존재성이 $ \mathfrak{S}_r $-등변성 사상의 존재성과 연결됨을 보여주기.
• Özaydin의 결과를 적용하여, $ r $ 가 소수의 거듭제곱이 아니면 $ \mathfrak{S}_r $-등변성 사상이 $ S(W_r^{\oplus rk}) $ 로 존재함을 보여주기.
• 모든 $ r $ 개의 서로소 면이 차원 $ (r-1)k $ 이하인 경우에 대해 이미지의 교차가 공집합이 되는 연속적 사상 $ f: \Delta_N \to \mathbb{R}^{rk} $ 을 구성하기.
• 높은 차원의 목표 공간에서 교차를 방지하기 위해 $ (r-1)k $-스켈레톤까지의 거리를 좌표로 추가하여 이 사상을 $ F: \Delta_N \to \mathbb{R}^{rk+1} $ 로 확장하기.
• 차원 수 세기 논증을 사용하여, 만약 $ r $-튜플의 면들이 모두 고차원 세포를 포함했다면, $ N+1 $ 개 이상의 정점가 필요로 하여 모순이 발생함을 보여주기.
• 제약 방법과 장애 이론 기법을 조합하여 문제를 Sylow $ p $-부분군 작용으로 환원하고, 구면에서의 고정점 성질을 활용하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 위상적 Tverberg 추측은 모든 정수 $ r \geq 2 $ 에 대해 성립하는가, 아니면 $ r $ 가 소수의 거듭제곱이 아닐 경우 반례가 존재하는가?
• RQ2 일반화된 van Kampen 정리를 사용하여, 서로소 면의 이미지의 $ r $-겹 교차를 피하는 연속적 사상을 구성할 수 있는가?
• RQ3 소수의 거듭제곱이 아닌 $ r $ 에 대해, 위상적 Tverberg 추측이 실패하는 최소 차원 $ d $ 는 얼마인가?
• RQ4 Özaydin과 Mabillard–Wagner의 장애 이론 기법과 같은 장애 이론적 방법은 이러한 반례를 얼마나 체계적으로 생성할 수 있는가?
• RQ5 제약 방법을 사용하여 $ r $-겹 소멸 조건을 위상적 장애로 변환하여 Tverberg 유형의 일치를 방지할 수 있는가?

주요 결과

• 위상적 Tverberg 추측은 모든 정수 $ r \geq 6 $ 이며 소수의 거듭제곱이 아니며 차원 $ d \geq 3r+1 $ 인 경우에 대해 실패한다.
• 모든 여섯 개의 서로소 면의 이미지가 공통 교차가 없는 연속적 사상 $ F: \Delta_{100} \to \mathbb{R}^{19} $ 이 존재하며, 이는 지금까지 알려진 최소의 반례이다.
• 소수의 거듭제곱이 아닌 $ r $ 에 대해, 모든 $ N $ 에 대해 $ f: \Delta_N \to \mathbb{R}^{rk} $ 이 존재하여, $ \dim \sigma_i \leq (r-1)k $ 인 $ r $ 개의 서로소 면에 대해 $ f(\sigma_1) \cap \cdots \cap f(\sigma_r) = \emptyset $ 이다.
• 이러한 사상의 존재는 $ r $ 가 소수의 거듭제곱이 아닐 경우 $ \mathfrak{S}_r $-등변성 사상이 구면으로 존재하지 않기 때문에, Sylow 부분군 작용에서의 고정점 장애로 인해 보장된다.
• 이 구성은 $ S(W_r^{\oplus rk}) $ 가 $ (d-2) $-연결되어 있고, $ r $ 가 소수의 거듭제곱이 아니면 $ \mathfrak{S}_r $-등변성 사상이 존재함에 기반한다. 이는 목표 공간의 고정점 덕분이다.
• 반례는 차원 감소에 대해 안정적이다: 만약 추측이 차원 $ d+1 $ 에서 실패한다면, $ d $ 에서도 실패하므로, 모든 $ d \geq 3r+1 $ 에서 실패가 확인된다.