[논문 리뷰] Counterparty Risk Valuation: A Marked Branching Diffusion Approach

Pierre Henry‐Labordère|arXiv (Cornell University)|2012. 03. 11.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 5인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 유연한 파생상품 가격 책정에서 양방향 대차상대방 위험을 효율적으로 계산하기 위해 표시된 분기 확산 방법을 제안한다. 이는 계산 비용이 높은 몬테카를로의 몬테카를로 방법에 비해 경쟁 가능한 대안을 제공한다. 기본 사건을 확산 과정에 통합된 갈톤-워슨 랜덤 트리로 모델링함으로써, 신용 평가 조정에서 발생하는 준선형 편미분방정식(PDE)에 대한 확률적 해를 제공하며, 다양한 예제에서 수치적 검증이 이루어졌다.

ABSTRACT

The purpose of this paper is to design an algorithm for the computation of the counterparty risk which is competitive in regards of a brute force "Monte-Carlo of Monte-Carlo" method (with nested simulations). This is achieved using marked branching diffusions describing a Galton-Watson random tree. Such an algorithm leads at the same time to a computation of the (bilateral) counterparty risk when we use the default-risky or counterparty-riskless option values as mark-to-market. Our method is illustrated by various numerical examples.

연구 동기 및 목표

• 브루트 포스 몬테카를로의 몬테카를로 방법에 비해 계산 비용이 높은 대차상대방 위험 평가의 효율적인 대안을 개발하기 위해.
• 다중 자산 파생상품에서 발생하는 양방향 대차상대방 위험과 관련된 준선형 PDE를 해결할 때 발생하는 차원의 저주 문제를 다루기 위해.
• 다항 비선형성을 가진 준선형 포물형 편미분방정식(PDE)의 해를 분기 확산을 통해 확률적 표현을 제공하기 위해.
• 통합된 프레임워크 내에서 기본 사태 발생 시 양방향 대차상대방 위험과 시장가치 기준 평가 가치를 동시에 계산할 수 있도록 하기 위해.
• 유럽식 옵션과 다중 자산 포트폴리오를 포함한 수치 예제를 통해 방법의 정확성과 효율성을 입증하기 위해.

제안 방법

• 각 노드가 잠재적 기본 사태 발생 사건과 관련된 파생상품 가치를 나타내는 갈톤-워슨 랜덤 트리 구조를 통해 기본 사태 발생 사건과 파생상품 가치의 진화를 표시된 분기 확산으로 표현한다.
• 각 노드가 잠재적 기본 사태 발생 사건과 관련된 파생상품 가치를 나타내는 표시된 분기 과정을 통해 대차상대방 위험을 모델링한다.
• 시간에 독립적인 분기 비율을 가진 분기 확산 과정에 PDE를 통합함으로써 준선형 PDE의 해에 대한 확률적 표현을 활용한다.
• 피안만-카크 공식을 적용하여 PDE의 해를 분기 확산 과정의 기능 기대값과 연결한다.
• 강한 마코프 성질과 증분의 독립성을 활용하여 트리의 각 노드에서의 해를 도출하는 재귀 기대값을 유도한다.
• 재귀 기대값을 통해 비선형성을 다루기 위해 PDE의 비선형 항을 다항식 근사로 처리함으로써, 회귀 기반 조건 기대값 추정이 필요 없는 시뮬레이션 기반 계산을 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 표시된 분기 확산 과정은 대차상대방 위험 평가에 있어 몬테카를로의 몬테카를로 방법에 비해 효율적이고 정확한 대안이 될 수 있는가?
• RQ2 양방향 대차상대방 위험과 관련된 준선형 PDE를 유한차분 방법이나 회귀 기반 역방향 SDE 방법에 의존하지 않고 어떻게 해결할 수 있는가?
• RQ3 다항 비선형성을 가진 준선형 PDE의 해를 고차원 설정에서 분기 확산이 얼마나 잘 표현할 수 있는가?
• RQ4 다중 자산 파생상품 포트폴리오에 대해 표준 이중 시뮬레이션 기법과 비교할 때 이 방법의 수치적 성능은 어떠한가?
• RQ5 이 프레임워크는 분기 과정에 말리아빈 가중치를 사용하여 완전히 비선형 PDE를 다룰 수 있도록 확장될 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 표시된 분기 확산 방법은 브루트 포스 몬테카를로의 몬테카를로 방법과 비교해 경쟁 가능한 계산 성능을 달성하며, 시뮬레이션 시간을 크게 단축시킨다.
• 이 방법은 선택된 관행(대차상대방 위험 제공 여부에 따라)에 따라 양방향 대차상대방 위험과 기본 사태 발생 시 시장가치 기준 평가 가치를 모두 성공적으로 계산한다.
• 수치 예제를 통해 이 방법의 정확성과 안정성이 다양한 파생상품 구조, 특히 유럽식 옵션과 다중 자산 포트폴리오에 걸쳐 확인되었다.
• 해가 기저 준선형 PDE의 점성해임이 입증되었으며, 비교 원리에 따라 유일성이 보장된다.
• 전통적인 다중 자산 케이스에서 주로 발생하는 회귀 기반 조건 기대값 추정의 필요성을 피할 수 있다.
• 이론적 증명을 통해 PDE의 해와 분기 확산 과정의 기대값 간의 등가성을 입증하여, 이 방법의 수학적 기반을 검증하였다.