[논문 리뷰] Counting De Bruijn sequences as perturbations of linear recursions

Don Coppersmith, Robert C. Rhoades외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 05. 22.

Coding theory and cryptography참고 문헌 19인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 이차형 De Bruijn 수열이 주어진 선형 재귀와 정확히 k개의 위치에서 다를 때를 세는 생성함수를 유도한다. 이는 가중치가 부여된 행렬 트리 정리와 De Bruijn 그래프에서 들어오는 트리(in-tree)와 해밀턴 경로 사이의 대응 관계를 사용한다. 핵심 결과는 상태 공간의 순환들에 대해 곱으로 표현된 생성함수이며, 각 순환은 $ p_k(y) = (1+y)^k - (1-y)^k $의 형태로 기여하며, 이는 1894년 Flye Sainte-Marie의 De Bruijn 수열 수를 일반화한다.

ABSTRACT

Every binary De~Bruijn sequence of order n satisfies a recursion 0=x_n+x_0+g(x_{n-1}, ..., x_1). Given a function f on (n-1) bits, let N(f; r) be the number of functions generating a De Bruijn sequence of order n which are obtained by changing r locations in the truth table of f. We prove a formula for the generating function \sum_r N(\ell; r) y^r when \ell is a linear function. The proof uses a weighted Matrix Tree Theorem and a description of the in-trees (or rooted trees) in the n-bit De Bruijn graph as perturbations of the Hamiltonian paths in the same graph.

연구 동기 및 목표

• 주어진 선형 재귀와 정확히 k개의 위치에서 다를 De Bruijn 수열을 세는 방식으로 Flye Sainte-Marie의 1894년 수열 수 계산을 일반화하는 것.
• 진리표의 선형 함수 $ f $의 비트를 k개 뒤집어 얻을 수 있는 De Bruijn 수열을 세는 생성함수 $ G(f;y) = \sum_k N(f;k) y^k $를 개발하는 것.
• n-비트 De Bruijn 그래프에서 들어오는 트리(루트를 가진 스패닝 트리)의 구조와 해밀턴 경로 사이의 연결 고리를 설정하여 스펙트럼 방법을 통한 세기 가능성을 확보하는 것.
• 선형 함수 $ \ell $에 대해 생성함수가 상태 공간의 원시 네크리스 순환들에 대해 곱으로 분해되며, 각 순환은 항 $ p_k(y) = (1+y)^k - (1-y)^k $를 기여함을 증명하는 것.

제안 방법

• n-비트 De Bruijn 그래프에 대해, 선형 재귀와 일치하는지 여부에 따라 간선에 1 또는 y의 가중치를 갖는 가중치 행렬 $ W_{\ell,n} $를 정의한다.
• 행렬 트리 정리의 가중치 버전을 적용하여 생성함수를 $ W_{\ell,n} $의 특성다항식과 연결하며, $ (1+y)I - W_{\ell,n} $의 행과 열 합이 0임을 이용한다.
• 상태 공간의 특성 기반 분해를 위해 $ X_\alpha = \sum_x (-1)^{\alpha \cdot x} [x] $를 도입하여 $ W_{\ell,n} $의 작용을 대각화한다.
• 특성공간의 갈로아 순환을 통해 $ W_{\ell,n} $의 고유공간을 식별하며, 길이 $ r $이고 첫 번째 비트에 $ k $개의 1이 포함된 각 순환은 특성다항식에 $ z^r - (1+y)^{r-k}(1-y)^k $의 형태로 기여함을 보인다.
• 특성공간의 갈로아 순환을 선형 함수형 $ \beta_{n-1} $를 통해 상태 공간의 순환으로 매핑하여 순환 구조를 동일시하고 최종 곱 공식을 유도한다.
• De Bruijn 그래프에서 들어오는 트리와 해밀턴 경로 사이의 대응 관계를 이용하여 스펙트럼 세기에서 행렬 트리 정리를 사용하는 것이 타당함을 정당화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 주어진 선형 함수 $ \ell $의 진리표에서 정확히 k개의 항목을 뒤집었을 때 생성할 수 있는 순서 $ n $의 De Bruijn 수열은 몇 개인가?
• RQ2 이러한 변형에 대해 생성함수 $ G(\ell;y) = \sum_k N(\ell;k) y^k $는 선형 $ \ell $에 대해 닫힌 형태로 표현될 수 있는가?
• RQ3 선형 재귀의 변형을 인코딩하는 가중치 행렬 $ W_{\ell,n} $의 대수적 구조는 무엇인가?
• RQ4 선형 재귀의 상태 공간 내 순환은 $ W_{\ell,n} $의 고유값과 어떻게 관련되며, 이를 통해 생성함수를 계산할 수 있는가?
• RQ5 선형 재귀의 순환 분해에만 의존하는 $ G(\ell;y) $에 대한 통일된 공식이 존재하는가?

주요 결과

• 모든 선형 함수 $ \ell: \mathbb{F}_2^{n-1} \to \mathbb{F}_2 $이 상수항이 0일 때, 생성함수는 $ G(\ell;y) = 2^{-n} \prod_{{\bf c} \in C(\ell)} p_{d({\bf c})}(y) $로 주어지며, 여기서 $ p_k(y) = (1+y)^k - (1-y)^k $이고 $ d({\bf c}) $는 원시 네크리스 클래스 $ {\bf c} $에 포함된 1의 개수이다.
• 생성함수를 $ y=1 $에서 평가하면 Flye Sainte-Marie의 고전적 결과가 복원되며, 순서 $ n $의 De Bruijn 수열 총 개수는 $ 2^{2^{n-1} - n} $임을 보여준다.
• $ \ell $가 $ n $개의 연속된 0이 없는 $ (2^n - 1) $-순환을 생성할 경우 공식은 $ G(\ell;y) = 2^{-n} \left( (1+y)^{2^{n-1}} - (1-y)^{2^{n-1}} \right) $로 단순화되며, 이는 Fryers(2015)의 결과를 확인한다.
• 영 함수 $ 0_n $에 대해 생성함수는 $ G(0_n;y) = 2^{-n} \prod_i p_i(y)^{e_{n,i}} $로 주어지며, 여기서 $ e_{n,i} = \sum_{d|n} L(d,i) $이고 $ L(d,i) $는 길이 $ d $의 원시 네크리스 중 1이 $ i $개인 것을 세는 함수이다.
• 이 방법은 특성공간의 갈로아 순환과 상태 공간의 순환 사이의 스펙트럼 대응을 확립하며, $ W_{\ell,n} $의 고유값이 순환 길이와 순환의 첫 번째 비트에 1이 포함된 개수에 의해 결정됨을 보여준다.
• 이 증명은 제2저자의 실험 데이터와 무작위 순열 유사성에 기반한 추측을 확인하며, Helleseth와 Kløve의 $ N(\ell;3) $에 관한 이전 결과를 일반화한다.