[논문 리뷰] Counting Dominating Sets of Graphs

Irene Heinrich, Peter Tittmann|arXiv (Cornell University)|2017. 01. 12.

Topological and Geometric Data Analysis참고 문헌 5인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 유한 단순 그래프에서 지배 집합의 수를 정확한 공식으로 제시하며, 이를 위해 그 여집합 내의 완전 이분부분그래프의 수를 사용한다. 이는 지배 집합의 총 수 d(G)가 2ⁿ − 1 + 2[a(G) − b(G)]와 같음을 증명한다. 여기서 a(G)와 b(G)는 여집합 그래프 내의 짝-짝 완전 이분부분그래프 K₂ₚ,₂ₚ와 홀-홀 완전 이분부분그래프 K₂ₚ₊₁,₂ₚ₊₁의 수를 세는 것이다. 이 결과는 지배의 새로운 대수적 특성화를 제공하며, 모든 유한 그래프에서 지배 집합의 수가 항상 홀수라는 사실에 대해 새로운 증명을 제시한다.

ABSTRACT

Counting dominating sets in a graph $G$ is closely related to the neighborhood complex of $G$. We exploit this relation to prove that the number of dominating sets $d(G)$ of a graph is determined by the number of complete bipartite subgraphs of its complement. More precisely, we state the following. Let $G$ be a simple graph of order $n$ such that its complement has exactly $a(G)$ subgraphs isomorphic to $K_{2p,2q}$ and exactly $b(G)$ subgraphs isomorphic to $K_{2p+1,2q+1}$. Then $d(G) = 2^n -1 + 2[a(G)-b(G)]$. We also show some new relations between the domination polynomial and the neighborhood polynomial of a graph.

연구 동기 및 목표

• 그래프의 지배 집합 수와 그 여집합 내 완전 이분부분그래프의 구조 사이의 직접적인 대수적 관계를 확립하기 위해.
• 모든 유한 그래프에서 지배 집합 수가 항상 홀수라는 사실을 새로운 조합적 증명을 통해 제공하기 위해.
• 지배 다항식과 이웃 다항식을 여집합 그래프의 구조적 불변량을 통해 통합하기 위해.
• 포함배제 원리와 간선 부분집합에 대한 모비우스 역전치를 사용하여 지배 다항식의 닫힌 형태 표현을 유도하기 위해.

제안 방법

• 저자들은 그래프의 이웃 복합체와 그 생성 함수인 이웃 다항식을 사용하여 정점의 열린 이웃에 포함된 부분집합을 분석한다.
• 그들은 이웃 다항식을 정점 부분집합의 이웃 교차에 대한 부호 있는 합으로 표현하기 위해 포함배제 원칙을 적용한다.
• 그들은 그래프의 간선 부분집합에 대한 모비우스 역전치를 통해 이웃 다항식의 생성 함수 항등식을 도출한다.
• 그들은 G에서의 지배 집합과 G̅의 이웃 사이의 이중성을 확립하여 D(G,1) + N(G̅,1) = 2ⁿ임을 보인다.
• 그들은 G̅ 내의 완전 이분부분그래프 Kₚ,ₚ의 구조를 사용하여 N(G̅,1)을 계산하며, p와 q의 홀짝성에 따라 경우를 나눈다.
• 그들은 완전 이분부분그래프의 동형 유형에 대한 부호 있는 합을 적용하여 최종 공식을 도출한다: d(G) = 2ⁿ − 1 + 2[a(G) − b(G)].

실험 결과

연구 질문

• RQ1 그래프의 지배 집합 수는 어떻게 그 여집합 내의 부분그래프 수에 의해 표현될 수 있는가?
• RQ2 지배 집합의 홀짝성과 정확한 수를 결정하는 여집합 그래프의 구조적 성질는 무엇인가?
• RQ3 지배 집합 수가 항상 홀수라는 알려진 사실은 부분그래프 수세기로 구성된 조합적 공식에서 유도될 수 있는가?
• RQ4 지배 다항식과 그래프의 이웃 다항식 사이의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ5 간선 부분집합과 그 포함배제 성질은 어떻게 이웃 다항식과 지배 다항식의 계산에 기여하는가?

주요 결과

• 순서 n인 그래프 G의 지배 집합 수 d(G)는 d(G) = 2ⁿ − 1 + 2[a(G) − b(G)]로 주어지며, 여기서 a(G)와 b(G)는 여집합 그래프 내의 K₂ₚ,₂ₚ와 K₂ₚ₊₁,₂ₚ₊₁에 동형인 부분그래프의 수를 세는 것이다.
• 이 공식은 2[a(G) − b(G)]가 짝수이고 2ⁿ − 1이 홀수이므로 d(G)가 항상 홀수임을 확인한다.
• 여집합 그래프의 짝수 차수와 홀수 차수의 완전 이분부분그래프는 각각 부분그래프의 부분의 홀짝성에 따라 양수 또는 음수 기여를 한다.
• 여집합 그래프 G̅의 이웃 다항식은 항등식 D(G,x) + N(G̅,x) = (1+x)ⁿ을 통해 G의 지배 다항식을 완전히 결정한다.
• G의 간선 부분집합 F에 대한 (−1)ˡᶠˡ N(G−F,x)의 합은 G가 완전 이분부분그래프 또는 공집합인 경우를 제외하고는 항상 0이며, 이 경우 닫힌 형태의 표현식을 얻는다.
• 이 결과는 지배 집합 수의 홀수성에 대한 새로운 대수적 증명을 제공하며, 부분그래프 수세기 방법을 통해 알려진 추측을 해결한다.