[논문 리뷰] Counting, Fanout, and the Complexity of Quantum ACC

Frederic Green, Steven Homer외 2명|arXiv (Cornell University)|2001. 06. 04.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 17인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 고정 깊이와 무한 입력 수를 가진 양자 회로를 위한 고전적 회로 클래스의 양자 버전을 정의하며, ${\sf{QAC}}^{0}$ 및 ${\sf{QACC}}[q]$를 제안한다. 또한 팬아웃 게이트가 고정 깊이에서 ${\rm MOD}_q$ 게이트를 구성할 수 있음을 증명하여, 모든 $q > 1$에 대해 ${\sf{QAC}}_{\rm wf}^{0} = {\/sf{QACC}}[q] = {\sf{QACC}}$임을 보이며, 고전적 ${\sf{ACC}}[q]$ 클래스에 비해 엄밀한 양자적 우월성을 입증한다.

ABSTRACT

We propose definitions of $\QAC^0$, the quantum analog of the classical class $\AC^0$ of constant-depth circuits with AND and OR gates of arbitrary fan-in, and $\QACC[q]$, the analog of the class $\ACC[q]$ where $\Mod_q$ gates are also allowed. We prove that parity or fanout allows us to construct quantum $\MOD_q$ gates in constant depth for any $q$, so $\QACC[2] = \QACC$. More generally, we show that for any $q,p > 1$, $\MOD_q$ is equivalent to $\MOD_p$ (up to constant depth). This implies that $\QAC^0$ with unbounded fanout gates, denoted $\QACwf^0$, is the same as $\QACC[q]$ and $\QACC$ for all $q$. Since $\ACC[p] e \ACC[q]$ whenever $p$ and $q$ are distinct primes, $\QACC[q]$ is strictly more powerful than its classical counterpart, as is $\QAC^0$ when fanout is allowed. This adds to the growing list of quantum complexity classes which are provably more powerful than their classical counterparts. We also develop techniques for proving upper bounds for $\QACC^0$ in terms of related language classes. We define classes of languages $\EQACC$, $\NQACC$ and $\BQACC_{ ats}$. We define a notion of $\log$-planar $\QACC$ operators and show the appropriately restricted versions of $\EQACC$ and $\NQACC$ are contained in $¶/\poly$. We also define a notion of $\log$-gate restricted $\QACC$ operators and show the appropriately restricted versions of $\EQACC$ and $\NQACC$ are contained in $\TC^0$.

연구 동기 및 목표

• 고전적 회로 클래스 ${\sf{AC}}^0$ 및 ${\sf{ACC}}[q]$의 양자 버전을 정의하고 체계화하기, 특히 ${\sf{QAC}}^{0}$ 및 ${\sf{QACC}}[q]$를 정의하기.
• 팬아웃 또는 ${\rm MOD}_q$ 게이트를 가진 양자 회로가 고전적 대응체보다 더 큰 계산 능력을 가질 수 있는지 조사하기.
• 회로의 구조를 제약함으로써 양자 언어 클래스 ${\sf{EQACC}}$, ${\sf{NQACC}}$, 및 ${\sf{BQACC}}_{{\bf Q}}$의 상한을 설정하기.
• 양자 회로의 깊이, 팬아웃, 그리고 모듈로 수를 세는 함수 계산 능력 간의 관계 탐색하기.

제안 방법

• ${\sf{QAC}}^{0}$을 고정 깊이의 양자 회로로 정의하며, 일량자 게이트, 토플리 게이트를 포함하고 팬아웃은 없음; ${\sf{QAC}}_{\rm wf}^{0}$은 팬아웃 게이트를 포함함.
• ${\sf{QACC}}[q]$를 ${\sf{QAC}}^{0}$에 양자 ${\rm MOD}_q$ 게이트를 추가한 것으로 정의하고, ${\sf{QACC}} = \bigcup_q {\sf{QACC}}[q]$로 정의함.
• 팬아웃을 통해 캣 상태를 생성할 수 있음을 증명하여, $n$-항 파리티 게이트를 고정 깊이로 구성할 수 있음을 보임.
• 모든 $q > 1$에 대해 ${\rm MOD}_q$ 게이트가 고정 깊이에서 ${\rm MOD}_p$ 게이트와 동치임을 보이며, 이는 ${\sf{QACC}}[q] = {\sf{QACC}}[p]$를 의미함.
• 복잡도를 제한하기 위해 로그 평면형 및 로그 게이트 제약을 가진 ${\sf{QACC}}$ 연산자 도입.
• 색상 일관성 있는 경로를 가진 텐서 그래프 표현을 사용하여 진폭을 시뮬레이션하고, ${\sf{P}}/{\sf{poly}}$ 및 ${\sf{TC}}^0$에 포함됨을 증명함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고정 깊이에서 ${\sf{QAC}}^{0}$ 내부에 팬아웃 게이트를 구성할 수 있는가, 아니면 ${\sf{QAC}}^{0} \subset {\sf{QAC}}_{\rm wf}^{0}$인가?
• RQ2 ${\sf{QAC}}_{\rm wf}^{0}$은 ${\sf{QTC}}^{0}$과 동일한가, 즉 고정 깊이에서 양자 임계값 게이트를 구성할 수 있는가?
• RQ3 ${\sf{EQACC}}$, ${\sf{NQACC}}$, 및 ${\sf{BQACC}}_{{\bf Q}}$와 같은 양자 언어 클래스는 ${\sf{TC}}^0$ 또는 ${\sf{P}}/{\sf{poly}}$에 포함되는가?
• RQ4 고전적 ${\sf{ACC}}$에 대한 증명 기법(예: 발리언트-바지라니, 토다 다항식)을 양자 환경에 적응시킬 수 있는가?
• RQ5 고정 깊이의 양자 회로, 예를 들어 깊이 2의 ${\sf{QACC}}$ 회로의 정확한 복잡도는 무엇인가?

주요 결과

• 고정 깊이에서 팬아웃 게이트를 사용하면 $n$-항 파리티 게이트를 구성할 수 있으며, 이는 ${\sf{QAC}}_{\rm wf}^{0}$이 고정 깊이에서 임의의 ${\rm MOD}_q$ 함수를 계산할 수 있음을 의미함.
• 모든 $q > 1$에 대해 ${\sf{QACC}}[q] = {\sf{QACC}}$임을 보이며, 이는 $q$의 선택이 클래스의 계산 능력에 영향을 주지 않음을 의미함.
• ${\sf{QAC}}_{\rm wf}^{0}$은 모든 $q > 1$에 대해 ${\sf{QACC}}[q]$와 동일하므로, ${\sf{QAC}}_{\rm wf}^{0} = {\sf{QACC}}$임을 증명함.
• 로그 평면 제약 조건 하에서 언어 클래스 ${\sf{EQACC}}_{\rm pl}^{\log}$ 및 ${\sf{NQACC}}_{\rm pl}^{\log}$은 ${\sf{P}}/{\sf{poly}}$에 포함됨.
• 로그 게이트 제약 모델 하에서 언어 클래스 ${\sf{EQACC}}_{\rm gates}^{\log}$ 및 ${\sf{NQACC}}_{\rm gates}^{\log}$는 ${\sf{TC}}^0$에 포함됨.
• 다항식 시간 균일성 가정 하에서, $p$-균일 ${Σ}^{\rm NQACC}_{\rm pl}^{\log}$은 ${\sf{P}}$에 속하며, $p$-균일 ${Σ}^{\rm NQACC}_{\rm gates}^{\log}$은 $p$-균일 ${\sf{TC}}^0$에 속함.