[논문 리뷰] Counting lattice walks by winding angle

Andrew Elvey Price|arXiv (Cornell University)|2020. 03. 03.

Advanced Combinatorial Mathematics참고 문헌 9인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 Kreweras 격자를 새로운 방식으로 분해하여, 길이, 종점, 비틀림 각도로 세는 격자 보행의 생성함수에 대한 함수방정식을 유도하고, Jacobi 체타 함수를 통해 이를 해결한다. 주요 기여는 각도 $\frac{2\pi}{3}$인 콘 영역에 제한된 보행에 대한 정확한 생성함수 표현을 제공함으로써 점근적 및 대수적 분석이 가능하게 한 것이다. 이 결과는 정사각형, 정삼각형 및 킹 격자로도 확장 가능하다.

ABSTRACT

We address the problem of counting walks by winding angle on the Kreweras lattice, an oriented version of the triangular lattice. Our method uses a new decomposition of the lattice, which allows us to write functional equations characterising a generating function of walks counted by length, endpoint and winding angle. We then solve these functional equations in terms of Jacobi theta functions. By using this result in conjunction with the reflection principle, we count walks confined to a cone of opening angle any multiple of $\fracπ{3}$, allowing us to extract asymptotic and algebraic information for these walks. Our method and results extend analogously to three other lattices, including the square lattice and triangular lattice. On the square lattice, most of our results were derived by Timothy Budd in 2017, so the current work can be seen as an extension of Budd's results to the three other lattices that we consider. Budd's method of deducing these results was very different, as it was based on an explicit eigenvalue decomposition of certain matrices counting paths in the lattice.

연구 동기 및 목표

• Kreweras 격자, 즉 유도된 정삼각형 격자에서 비틀림 각도로 보행을 체계적으로 세는 새로운 방법을 개발하기 위해.
• 보행 길이, 종점, 비틀림 각도를 포함하는 생성함수에 대한 함수방정식을 유도하기 위해.
• 이 함수방정식을 Jacobi 체타 함수를 사용하여 해결하고, 콘 영역에 제한된 보행에 적용하기 위해.
• 이 방법을 정사각형, 정삼각형 및 킹 격자와 같은 다른 격자로 확장하여, 이전에 알려진 정사각형 격자 결과와 일관성을 확보하기 위해.
• 각도 $\frac{2\pi}{3}$ 및 그 배수인 콘 영역 내 보행의 생성함수의 대수적 및 점근적 성질을 분석하기 위해.

제안 방법

• Kreweras 격자에서의 보행을 모델링하고 생성함수에 대한 함수방정식을 도출하기 위해 새로운 격자 분해를 도입하기 위해.
• Jacobi 체타 함수 $\vartheta(z,\tau)$의 도함수와 관련된 멱급수 $T_k(u,q)$를 정의하여, 생성함수 해를 포함하기 위해.
• 함수방정식을 사용하여 셀 중심 Kreweras 보행의 생성함수 $E(t,s)$와 정점 중심 보행의 생성함수 $\tilde{E}(t,s)$를 $T_k$ 급수로 표현하기 위해.
• 근의 단위 필터를 사용하여 반사 원리를 적용하여 콘 영역에 제한된 보행의 생성함수를 전체 생성함수 $\tilde{E}(t,s)$와 연결하기 위해.
• $\tilde{E}(t,s)$의 구조와 단위근에서의 행동을 활용하여 콘 제한 보행의 대수성 및 점근적 행동을 도출하기 위해.
• 적분 변환과 푸리에 역변환을 사용하여 개구각 $\frac{2\pi}{k_2 - k_1}$인 콘 영역 내 보행의 계수의 점근적 성질을 추출하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Kreweras 격자에서 함수방정식을 사용하여 비틀림 각도로 격자 보행을 체계적으로 세는 방법은 무엇인가요?
• RQ2 시작점과 종점이 원점 근처에 있는 셀 중심 Kreweras 격자 보행의 정확한 생성함수 형태는 길이와 비틀림 각도로 매개변수화될 수 있나요?
• RQ3 반사 원리는 각도 $N\pi/3$인 콘 영역에 제한된 보행의 생성함수를 추출하는 데 어떻게 적용될 수 있나요?
• RQ4 콘 제한 보행의 생성함수가 대수적 또는 D-유한해지는 조건은 무엇인가요?
• RQ5 개구각 $\beta = \frac{(k_2 - k_1)\pi}{3}$인 콘 영역 내 보행의 수의 정확한 점근적 행동은 무엇인가요?

주요 결과

• 셀 중심 Kreweras 보행의 생성함수 $E(t,s)$는 $T_k(u,q)$ 급수로 표현되며, $q(t)$는 $T_1(1,q^3)$과 $T_0(q,q^3)$를 포함하는 비자명한 함수방정식을 만족한다.
• 정점 중심 Kreweras 보행의 생성함수 $\tilde{E}(t,s)$는 $T_k$ 급수를 사용하여 유도되었으며, $s$가 세제곱 단위근이 아닌 단위근일 경우 $t$에 대해 대수적임을 보였다.
• $s = e^{i\alpha}$이고 $\alpha \in (0,\pi) \setminus \{2\pi/3\}$일 때, 계수 $[t^n]\tilde{E}(t,s)$는 복소 계수를 가진 $n^{-\frac{3\alpha}{2\pi} - 1} 3^n$으로 점근적으로 감소한다.
• 개구각 $\frac{2\pi}{3}$인 콘 영역 내 보행의 생성함수(예: 단위정사각형 보행, 스텝 세트 $\{(-1,-1),(0,1),(1,0)\}$)는 대수적이며, 기존 결과와 일치한다.
• $\frac{5\pi}{6}$ 개구각인 콘 영역에 대해서는 생성함수 $\tilde{E}_{0,-2,3}(t)$가 대수적이며, $\tilde{E}(t,\omega)$의 오일러의 다섯 제곱근에 대한 합으로 표현된다.
• 콘 제한 보행의 점근적 성장은 $[t^n]\tilde{E}_{k,k_1,k_2}(t) \sim C n^{-1 - \frac{3}{k_2 - k_1}} 3^n$이며, $C$는 감마 함수와 삼각함수의 조합으로 명시적으로 주어진다.