[논문 리뷰] Counting non-isomorphic maximal independent sets of the n-cycle graph

Raymond Bisdorff, Jean‐Luc Marichal|arXiv (Cornell University)|2007. 01. 23.

Advanced Combinatorial Mathematics참고 문헌 8인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 이황군 $D_{2n}$ 의 작용을 통해 $C_n$ 순환 그래프에서 비동형이며 비표기된 최대 독립 집합(MISs)의 정확한 조합적 공식을 제공한다. 페린 수열과 파도반 수열을 포함하는 닫힌 형태의 표현식을 유도하며, 비동형 MISs의 수는 $\mathrm{orb}(n) = \frac{1}{2}\left(r(n) + \frac{1}{n}(p*\phi)(n)\right)$ 로 주어진다. 여기서 $p(n)$ 는 페린 수열이며 $r(n)$ 은 대칭적인 MISs의 수를 세는 것이다.

ABSTRACT

The number of maximal independent sets of the n-cycle graph C_n is known to be the nth term of the Perrin sequence. The action of the automorphism group of C_n on the family of these maximal independent sets partitions this family into disjoint orbits, which represent the non-isomorphic (i.e., defined up to a rotation and a reflection) maximal independent sets. We provide exact formulas for the total number of orbits and the number of orbits having a given number of isomorphic representatives. We also provide exact formulas for the total number of unlabeled (i.e., defined up to a rotation) maximal independent sets and the number of unlabeled maximal independent sets having a given number of isomorphic representatives. It turns out that these formulas involve both Perrin and Padovan sequences.

연구 동기 및 목표

• 순환 그래프 $C_n$ 에서 이황군의 대칭(회전 및 반사)에 대해 비동형 최대 독립 집합(MISs)을 세는 것.
• 오빗(비동형 MISs)의 수와 동형 대표 원소가 정확히 $k$개인 오빗의 수를 위한 정확한 공식 유도.
• 반만의 대칭(오직 회전에 대해서만)을 고려한 비표기 MISs로의 분석을 확장하고, 이에 해당하는 정확한 공식 제공.
• MISs의 조합적 세기와 잘 알려진 정수 수열, 특히 페린 수열과 파도반 수열 간의 관계 설정.

제안 방법

• $C_n$ 의 MISs 집합에 이황군 $D_{2n}$ 의 작용을 적용하여, 회전과 반사를 통한 오빗으로 나누기.
• 오빗-안정자 정리(orbit-stabilizer theorem)를 사용하여 오빗 크기와 안정자 크기를 연결하며, $|\mathrm{Orb}(X)| \times |\mathrm{Stab}(X)| = 2n$ 이다.
• $\mathrm{orb}(n)$ 을 비동형 MISs의 총 수(오빗의 수)로 정의하고, $\mathrm{orb}_d(n)$ 은 안정자 크기가 $d$ 인 오빗의 수로 정의하며, 곱셈적 산술 함수를 사용한다.
• 페린 수열 $p(n)$ 과 오일러 피 함수 $\phi(n)$ 을 조합한 공식을 통해 $\mathrm{orb}(n)$ 을 표현: $\mathrm{orb}(n) = \frac{1}{2}\left(r(n) + \frac{1}{n}(p*\phi)(n)\right)$.
• 반만의 비표기 MISs(오직 회전에 대해서만 정의됨)의 개념을 도입하고 $\mathrm{orb}^\sigma(n)$ 을 정의하며, 이는 $2\mathrm{orb}(n) - r(n)$ 과 같음을 보여준다.
• 디리클레 콘볼루션과 모비우스 역전환을 사용하여, 비회전 대칭을 갖는 비표기 MISs의 수인 $\mathrm{orb}_1^\sigma(n)$ 을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이황군 대칭 하에서 $n$-순환 그래프 $C_n$ 에서 비동형 최대 독립 집합은 몇 개인가?
• RQ2 이황군 $D_{2n}$ 의 작용 하에서 정확히 $k$ 개의 동형 대표 원소를 갖는 오빗(비동형 MISs)의 수는 얼마인가?
• RQ3 $C_n$ 에서 비표기 최대 독립 집합(오직 회전에 대해서만 정의됨)은 몇 개인가? 이 중에서 정확히 $k$ 개의 동형 대표 원소를 갖는 것은 몇 개인가?
• RQ4 MISs의 세기와 페린 수열 및 파도반 수열 간의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• $C_n$ 에서 비동형 MISs의 총 수인 $\mathrm{orb}(n)$ 은 $\mathrm{orb}(n) = \frac{1}{2}\left(r(n) + \frac{1}{n}(p*\phi)(n)\right)$ 로 주어지며, 여기서 $p(n)$ 은 페린 수열이고 $r(n)$ 은 반사에 의해 고정되는 MISs의 수를 세는 것이다.
• 대칭축이 없는 비동형 MISs의 수(즉, 안정자 크기가 1인 경우)는 $\mathrm{orb}_1(n) = \mathrm{orb}(n) - r(n)$ 이며, 이는 부분이 2와 3인 $n$ 의 순환적 비팔린드롬 분할의 수와 같다.
• 비표기 MISs의 수(오직 회전에 대해서만)는 $\mathrm{orb}^\sigma(n) = 2\mathrm{orb}(n) - r(n)$ 이며, 이 수열은 OEIS 수열 A127687 과 일치한다.
• 정확히 $n/d$ 개의 동형 대표 원소를 갖는 비표기 MISs의 수는 $\mathrm{orb}_d^\sigma(n)$ 으로 주어지며, 이는 디리클레 콘볼루션을 통해 $\mathrm{orb}_1^\sigma(n)$ 에서 유도할 수 있다.
• 소수 $n$ 에 대해 $\mathrm{orb}(n) = \mathrm{orb}_1(n) + \mathrm{orb}_2(n)$ 이며, $\mathrm{orb}_2(n) = r(n)$ 이고, $\mathrm{orb}^\sigma(n) = \frac{1}{n}p(n)$ 이다. 이는 높은 대칭성과 균일한 오빗 구조를 반영한다.
• $\mathrm{orb}(n)$ 과 $\mathrm{orb}^\sigma(n)$ 의 첫 40개 값이 표로 정리되었으며, 이는 각각 페린 수열과 파도반 수열과 일치하는 방식으로 증가하는 것으로 나타났다.