[논문 리뷰] Counting permutations with no long monotone subsequence via generating trees

Mireille Bousquet‐Mélou|arXiv (Cornell University)|2010. 06. 02.

Advanced Combinatorial Mathematics인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 증가하는 부분수열 길이가 m+1인 것이 없는 순열의 생성함수에 대한 Gessel의 행렬식 공식을 재구성하기 위해, m−1개의 보조 매개변수를 추적하는 재귀적 삽입 방법을 사용한다. 이 접근법은 길이가 m+1인 감소하는 부분수열을 갖지 않는 치환에까지 확장되어 고정점을 세는 것으로 정밀화되고, 생성함수들이 유리함수의 상수항임을 증명한다.

ABSTRACT

We recover Gessel's determinantal formula for the generating function of permutations with no ascending subsequence of length m+1. The starting point of our proof is the recursive construction of these permutations by insertion of the largest entry. This construction is of course extremely simple. The cost of this simplicity is that we need to take into account in the enumeration m-1 additional parameters --- namely, the positions of the leftmost increasing subsequences of length i, for i=2,...,m. This yields for the generating function a functional equation with m-1 catalytic variables, and the heart of the paper is the solution of this equation. We perform a similar task for involutions with no descending subsequence of length m+1, constructed recursively by adding a cycle containing the largest entry. We refine this result by keeping track of the number of fixed points. In passing, we prove that the ordinary generating functions of these families of permutations can be expressed as constant terms of rational series.

연구 동기 및 목표

• 재귀적 삽입 구성 방법을 통해 증가하는 부분수열 길이가 m+1인 것이 없는 순열의 생성함수에 대한 Gessel의 행렬식 공식을 복원하는 것.
• 가장 큰 원소를 포함하는 순환을 재귀적으로 추가하여 치환으로 이 방법을 확장하고, 부분수열 회피와 고정점을 동시에 추적하는 것.
• 이러한 순열 집합의 일반 생성함수들이 유리함수의 상수항으로 표현될 수 있음을 보이는 것.
• 재귀적 삽입 과정에서 발생하는 m−1개의 캐탈리틱 변수를 가진 함수방정식을 해결하는 것.

제안 방법

• 가장 큰 원소를 재귀적으로 삽입하면서, i=2,…,m에 대해 길이 i인 왼쪽에서 첫 번째 증가하는 부분수열의 위치를 보조 매개변수로 추적한다.
• 재귀적 삽입 과정과 부분수열 제약 조건을 코딩하기 위해 m−1개의 캐탈리틱 변수를 가진 함수방정식을 유도한다.
• 해결된 함수방정식을 대수적 기법을 사용하여 해석하여 생성함수를 추출한다.
• 유사한 재귀적 순환 삽입 방법을 치환에 적용하여 고정점을 고려한 정밀한 수를 세는 방법을 개발한다.
• 상수항 추출을 사용하여 일반 생성함수를 유리함수로 표현한다.
• 생성나무의 구조를 활용하여 단조부분수열 제약 조건 하에서 순열과 치환의 재귀적 성장을 모델링한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 증가하는 부분수열 길이가 m+1인 것이 없는 순열의 생성함수는 재귀적 삽입과 보조 매개변수를 통해 어떻게 유도할 수 있는가?
• RQ2 재귀적 구성 과정에서 m−1개의 캐탈리틱 변수는 이러한 순열의 구조를 어떻게 코딩하는가?
• RQ3 동일한 재귀적 프레임워크를 사용하여 길이가 m+1인 감소하는 부분수열을 갖지 않는 치환을 세는 데 적용할 수 있는가?
• RQ4 고정점을 추적하는 것이 이러한 치환의 수를 어떻게 정밀화하는가?
• RQ5 이러한 순열 집합의 일반 생성함수들은 유리함수의 상수항으로 표현될 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 재귀적 삽입 방법을 통해 증가하는 부분수열 길이가 m+1인 것이 없는 순열의 생성함수에 대한 Gessel의 행렬식 공식을 성공적으로 재구성하였다.
• m−1개의 캐탈리틱 변수를 가진 함수방정식의 해가 닫힌 형태의 생성함수를 제공한다.
• 길이가 m+1인 감소하는 부분수열을 갖지 않는 치환에 대해 유사한 재귀적 구성 방법이 개발되었고, 고정점 수를 고려한 정밀화가 이루어졌다.
• 두 순열 가족의 일반 생성함수들이 모두 유리함수의 상수항임을 증명하였다.
• 복잡한 단조부분수열 제약 조건이 있는 수의 문제는 보조 매개변수를 가진 재귀적 트리 기반 구성으로 해결될 수 있음을 보여주었다.
• 이 프레임워크는 순열 수의 문제, 캐탈리틱 변수, 그리고 상수항 표현을 통한 유리함수 간의 깊은 연결 고리를 드러내었다.