[논문 리뷰] Counting Phylogenetic Networks with Few Reticulation Vertices: Exact Enumeration and Corrections

Michael Fuchs, Bernhard Gittenberger외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 06. 29.

Genomics and Phylogenetic Studies참고 문헌 5인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 소수의 교잡 정점이 있는 트리-자식 및 정규 계통발생 네트워크에 대한 이전 점근적 수세기 방법에서의 과도한 수세기 오류를 수정한다. 수정된 지수형 생성함수를 사용하여, k=1,2,3개의 교잡 정점을 가진 이러한 네트워크의 수에 대한 명시적 폐형 공식을 유도하며, 이는 이전의 계산 결과에서의 불일치를 해결하고 조합적 검증을 통해 정확한 수를 확인한다.

ABSTRACT

In previous work, we gave asymptotic counting results for the number of tree-child and normal networks with $k$ reticulation vertices and explicit exponential generating functions of the counting sequences for $k=1,2,3$. The purpose of this note is two-fold. First, we make some corrections to our previous approach which overcounted the above numbers and thus gives erroneous exponential generating functions (however, the overcounting does not effect our asymptotic counting results). Secondly, we use our (corrected) exponential generating functions to derive explicit formulas for the number of tree-child and normal networks with $k=1,2,3$ reticulation vertices. This re-derives recent results of Carona and Zhang, answers their question for normal networks with $k=2$, and adds new formulas in the case $k=3$.

연구 동기 및 목표

• 소수의 교잡 정점을 가진 트리-자식 및 정규 네트워크에 대한 이전 점근적 수세기에서의 과도한 수세기 오류를 수정하기 위해.
• k=1,2,3개의 교잡 정점을 가진 잎 라벨이 부여된 트리-자식 및 정규 네트워크의 수에 대한 정확하고 명시적인 공식을 도출하기 위해.
• 특히 k=3일 때 발생한 이전 보고된 수의 불일치를 조합적 제약 조건과 계산 오버플로우 문제를 기반으로 검증하여 해결하기 위해.
• 최근 Carona와 Zhang(2023)의 공식을 수정된 생성함수를 사용하여 재유도하고 단순화하기 위해.
• 유도된 계수의 유리성과 알려진 값과의 일관성을 점검하여 신규 공식의 정확성을 확인하기 위해.

제안 방법

• k개의 교잡 정점을 가진 정점 라벨이 부여된 트리-자식 및 정규 네트워크에 대한 수정된 지수형 생성함수를 유도하여, 이전 생성함수 구성에서의 과도한 수세기를 수정한다.
• 두 네트워크 유형 모두에 대해 $ N_k(z) = z \frac{\tilde{a}_k^{[N]}(z^2) - \tilde{b}_k^{[N]}(z^2)\sqrt{1-2z^2}}{(1-2z^2)^{2k-1/2}} $ 형태를 사용하며, 수정된 다항식 $ \tilde{a}_k^{[N]} $ 및 $ \tilde{b}_k^{[N]} $ 를 적용한다.
• 생성함수 변환을 통한 계수 추출을 적용: $ N_{k,2n+1} = (2n+1)! \left( 2^{-n} \binom{2n}{n} \tilde{r}_k^{[N]}(n) - 2^n \tilde{p}_k^{[N]}(n) \right) $, 여기서 $ \tilde{r}_k^{[N]}(n) $ 은 유리수이고 $ \tilde{p}_k^{[N]}(n) $ 은 다항식이다.
• 정점 라벨 수를 잎 라벨 수로 변환하기 위해 $ \tilde{N}_{k,\ell} = \frac{\ell!}{(2\ell + 2k - 1)!} N_{k,2\ell + 2k - 1} $ 를 사용한다.
• 유도된 계수의 분모가 2의 거듭제곱임을 점검하여, 이전 계산 작업에서의 오버플로우 오류에 대비한 정확성 확인을 수행한다.
• 기호 계산과 조합적 제약 조건을 사용하여 네트워크 구축 시 순환 또는 가까운 순환을 방지하고, 유효한 정규 네트워크만 수세기할 수 있도록 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기존 과도한 수세기 오류를 수정한 후, k=3개의 교잡 정점을 가진 정규 네트워크에 대한 올바른 지수형 생성함수는 무엇인가요?
• RQ2 k=1,2,3에 대해 잎 라벨이 부여된 트리-자식 및 정규 네트워크의 수에 대한 명시적 폐형 공식을 어떻게 도출할 수 있나요?
• RQ3 왜 이전 계산 결과에서 $ \tilde{N}_{3,\ell} $ 의 값이 잘못되었으며, 이를 어떻게 검증할 수 있나요?
• RQ4 수정된 공식을 사용하여 Carona와 Zhang(2023)의 최근 결과를 단순화하거나 확인할 수 있나요?
• RQ5 순환 또는 가까운 순환을 포함하지 않는 유효한 정규 네트워크만 수세기할 수 있도록 보장하는 조합적 제약 조건은 무엇인가요?

주요 결과

• k=3개의 교잡 정점을 가진 정규 네트워크에 대한 수정된 지수형 생성함수는 $ N_3(z) = z \left( \frac{877z^{12} - 3065z^{10} + 2392z^8 - 628z^6 + 64z^4}{(1-2z^2)^{11/2}} - \frac{110z^{12} - 1455z^{10} + 1860z^8 - 564z^6 + 64z^4}{(1-2z^2)^5} \right) $ 이다.
• 3개의 교잡 정점과 총 $ 2n+1 $개의 정점을 가진 정점 라벨이 부여된 정규 네트워크의 수는 $ N_{3,2n+1} = (2n+1)! \left( \frac{n(n-1)(n^4 + 15n^3 - 158n^2 + 324n + 40)}{3(2n-1)2^n} \binom{2n}{n} - \frac{2^n}{192}(144n^4 - 751n^3 - 1089n^2 + 9106n - 7080) \right) $ 이다.
• 3개의 교잡 정점과 $ \ell $개의 잎을 가진 잎 라벨이 부여된 정규 네트워크의 수는 $ \tilde{N}_{3,\ell} = \ell! \left( \frac{(\
• $ \ell \geq 5 $ 인 $ \tilde{N}_{3,\ell} $ 수열은 1920, 184680, 11059650, 547444800으로 시작하며, 이는 수정된 값임을 확인하고 Zhang(2011)의 잘못된 값인 11038530과 536524830과 정면으로 대비된다.
• Zhang의 값에서 오류는 C++ 프로그램의 오버플로우로 기인하며, 수정된 값은 $ \tilde{N}_{3,\ell}/\ell! $ 의 분모가 2의 거듭제곱이 되어야 한다는 조건을 만족함으로써 확인된다.