[논문 리뷰] Counting quadrant walks via Tutte's invariant method (extended abstract)

Olivier Bernardi, Mireille Bousquet‐Mélou외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 11. 13.

Advanced Combinatorial Mathematics참고 문헌 19인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 투테의 불변량 방법을 제1사분면 보행의 수를 세는 데 적용하여, 기존에 알려진 모든 대수적 모델(예: 제셀의 모델 포함)에 대한 대수성에 대한 균일하고 간결한 증명을 제공한다. 또한 모든 모델에 적용 가능한 약화된 불변량 개념을 도입하여 적분을 포함하지 않는 표현식을 유도하고, 무한군을 가진 9개의 비-D-유한 모델에 대해 생성함수의 미분대수성(다항미분방정식의 계수를 가진 비선형 미분방정식)을 증명한다. 주요 기여는 생성함수의 대수적 또는 미분대수적 성질과 분리함수 및 불변량 간의 체계적 프레임워크를 연결한 것이다.

ABSTRACT

In the 1970s, Tutte developed a clever algebraic approach, based on certain "invariants" , to solve a functional equation that arises in the enumeration of properly colored triangulations. The enumeration of plane lattice walks confined to the first quadrant is governed by similar equations, and has led in the past decade to a rich collection of attractive results dealing with the nature (algebraic, D-finite or not) of the associated generating function, depending on the set of allowed steps. We first adapt Tutte's approach to prove (or reprove) the algebraicity of all quadrant models known or conjectured to be algebraic (with one small exception). This includes Gessel's famous model, and the first proof ever found for one model with weighted steps. To be applicable, the method requires the existence of two rational functions called invariant and decoupling function respectively. When they exist, algebraicity comes out (almost) automatically. Then, we move to an analytic viewpoint which has already proved very powerful, leading in particular to integral expressions of the generating function in the non-D-finite cases, as well as to proofs of non-D-finiteness. We develop in this context a weaker notion of invariant. Now all quadrant models have invariants, and for those that have in addition a decoupling function, we obtain integral-free expressions of the generating function, and a proof that this series is differentially algebraic (that is, satisfies a non-linear differential equation).

연구 동기 및 목표

• 삼각형의 수를 세는 데 쓰이는 투테의 불변량 방법을 소수의 보행에 대한 수를 세는 데로 확장한다.
• 기존에 알려졌거나 추측된 모든 대수적 제1사분면 보행 모델(예: 제셀의 모델 포함)에 대해 균일하고 대수적인 방법으로 대수성을 증명한다.
• 모든 모델에 적용 가능한 약화된 불변량 개념을 도입하여, 유한군의 경우를 초월한 해석적 접근이 가능하게 하고, 적분을 포함하지 않는 표현식과 비-D-유한한 경우의 미분대수성 결과를 도출한다.
• 분리함수의 존재와 생성함수의 성질(대수적, D-유한, 또는 미분대수적) 간의 관계를 명확히 한다.

제안 방법

• 제1사분면 보행 생성함수의 함수방정식에 투테의 원래 불변량 방법을 적용하고, 유리 불변량을 사용하여 불변량이 존재할 경우 대수성을 증명한다.
• 모든 79개의 소수의 제1사분면 모델에 적용 가능한 일반화된, 더 약한 불변량 개념을 도입한다. 이는 무한군을 가진 경우에도 적용 가능하다.
• 약한 불변량과 함께 분리함수의 존재를 이용하여 생성함수의 적분을 포함하지 않는 표현식을 유도한다.
• 등각변환 기법과 위어스트라스 타니엔트 함수의 성질을 사용하여, 접합함수 $ w(y;t) $ 가 미분대수적임을 증명한다.
• 미분대수적 함수의 닫힘 성질을 활용하여, 약한 불변량과 분리함수가 동시에 존재할 경우 전체 생성함수 $ Q(x,y;t) $ 가 미분대수적임을 보인다.
• 불변량 $ g_2 $ 와 $ g_3 $ 가 만족하는 미분방정식과 모듈러 형식의 성질을 이용하여 접합함수의 미분대수성을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 투테의 불변량 방법을 제1사분면 보행 생성함수의 대수성을 균일하고 체계적으로 증명할 수 있는가?
• RQ2 분리함수의 정확한 역할은 생성함수가 대수적 또는 미분대수적일 때 결정하는 데 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 모든 제1사분면 보행 모델이 적용 가능한 약화된 불변량 개념을 정의할 수 있는가? 이를 통해 유한군의 경우를 초월한 해석적 처리가 가능해지는가?
• RQ4 무한군을 가진 모델이 분리함수를 갖지 않을 경우, 생성함수 역시 여전히 미분대수적일 수 있는가, 아니면 이 클래스를 벗어나는가?
• RQ5 미분대수적 경우에 대해, 투테의 삼각형 방정식 해법과 유사하게 생성함수에 대한 명시적인 비선형 미분방정식을 유도할 수 있는가?

주요 결과

• 유한군을 가진 23개의 제1사분면 보행 모델은 분리함수를 갖는다면 대수적임이 필요이고 충분하며, 이 조건은 불변량 방법을 통해 균일하게 검증된다.
• 이 방법은 이전에 복잡한 대수적 변환을 필요로 했던 제셀의 모델에 대해 알려진 가장 간결한 대수적 증명을 제공한다.
• 무한군을 가진 9개의 모델에 대해 약한 불변량과 분리함수의 존재는 생성함수의 적분을 포함하지 않는 표현식을 이끌어낸다.
• 이 9개의 모델에 대해 생성함수 $ Q(x,y;t) $ 는 $ x $, $ y $, $ t $ 에 대해 미분대수적임이 증명되었으며, 유리 계수를 가진 비선형 미분방정식을 만족한다.
• 해석적 접근의 핵심인 접합함수 $ w(y;t) $ 는 위어스트라스 타니엔트 함수의 성질과 모듈러 형식을 이용하여 미분대수적임이 입증된다.
• 이 프레임워크는 D-유한성과 비D-유한성 모델 간의 이분법을 설명한다: 유한군은 D-유한성을 암시하며, 분리함수가 존재하면 대수적이다. 반면 무한군 모델은 분리함수가 존재할 경우 미분대수적일 수 있다.