[논문 리뷰] Counting ramified coverings and intersection theory on spaces of rational functions I (Cohomology of Hurwitz spaces)

Сергей Константинович Ландо, Dimitri Zvonkine|ArXiv.org|2003. 03. 18.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 7인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 호리즈 공간의 군집에 대한 리샤코–루이젠 맵의 차수를 교차 이론과 연결시켜 리만 구면의 분지 덮개를 세는 데 위한 코homological 프레임워크를 개발한다. 호리즈 공간의 코homology 대수를 계산하고, 특히 두 개의 이중 임계점과 $ 2n-6 $개의 단순 임계점을 가진 $ n $차 수렴 함수의 수를 위한 새로운 공식, 특히 닫힌 형태의 표현을 유도한다.

ABSTRACT

The Hurwitz space is a compactification of the space of rational functions of a given degree. The Lyashko-Looijenga map assigns to a rational function the set of its critical values. It is known that the number of ramified coverings of CP^1 by CP^1 with prescribed ramification points and ramification types is related to the degree of the Lyashko--Looijenga map on various strata of the Hurwitz space. Here we explain how the degree of the Lyashko-Looijenga map is related to the intersection theory on this space. We describe the cohomology algebra of the Hurwitz space and prove several relations between the homology classes represented by various strata.

연구 동기 및 목표

• 주어진 차수의 유리 함수를 매개변수화하는 호리즈 공간의 코homological 기술을 수립하기 위해.
• 호리즈 공간의 군집에 대한 리샤코–루이젠 맵의 차수를 분지 덮개의 수열적 불변량과 연결하기 위해.
• 호리즈 공간에서의 교차 수를 계산하여 특정 분지 유형을 가진 유리 함수의 동형류 수를 위한 새로운 공식을 도출하기 위해.
• 안정적 매핑의 모듈리 공간에서의 교차 이론을 통해 분지 덮개의 수를 세는 데 기하학적·위상수학적 기초를 제공하기 위해.

제안 방법

• 저자들은 유니폼화된 0차 수렴 곡선에서 $ \mathbb{C}\mathbb{P}^1 $로의 안정적 매핑으로서 $ \mathcal{H}_n $을 정의하고, 무한대에서의 임계점이 자명하다고 가정한다.
• 유리 함수를 그 임계값 집합으로 보내는 리샤코–루이젠 맵을 사용하고, 고정된 분지 유형에 대응하는 군집에서의 맵의 차수를 연구한다.
• 호리즈 공간의 코homology 대수를 기술하고, 교차 이론을 통해 군집의 호모로지 클래스 간의 관계를 유도한다.
• 퇴화 기법과 이후 논문 [15]의 결과, 특히 $ \overline{\mathcal{M}}_{n-1} $ 모듈리 공간을 포함하여, 유리 함수의 가위자국 $ C_n $과의 교차 지수를 계산한다.
• 고정된 극점이 있는 유리 함수의 도함수의 판별식의 차수를 매개변수에 대한 동차 다항식으로 계산하여 교차 중복도를 결정한다.
• 극점들이 충돌하는 유리 함수의 퇴화를 분석하고, 동차성과 분할적 성질을 이용하여 군집 및 가위자국과의 교차 지수를 계산한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 지정된 분지 유형을 가진 $ n $차 유리 함수의 동형류 수는 호리즈 공간의 해당 군집에서 리샤코–루이젠 맵의 차수와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ2 호리즈 공간 $ \mathcal{H}_n $의 코homology 대수의 구조는 무엇이며, 서로 다른 분지 유형을 나타내는 군집은 어떻게 교차하는가?
• RQ3 호리즈 공간에서의 교차 이론은 어떻게 $ \mathbb{C}\mathbb{P}^1 $에서 $ \mathbb{C}\mathbb{P}^1 $로의 특정 분지 프로파일을 가진 분지 덮개의 수를 계산하는 데 사용될 수 있는가?
• RQ4 일반적인 유리 함수의 1매개변수 가닥이 가위자국 $ C_n $과의 교차 지수는 무엇이며, 이는 도함수의 판별식의 차수와 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 임계값이 모두 고정된 $ n $차 유리 함수 중 두 개의 이중 임계점과 $ 2n-6 $개의 단순 임계점을 가진 함수의 수는 공식 $ h_{2,2} = \frac{3}{4}(27n^2 - 137n + 180) \frac{n^{n-6} (2n-6)!}{(n-3)!} $로 주어지며, 이는 새로운 결과이다.
• 분지 유형 $ \kappa_1, \dots, \kappa_c $에 대응하는 군집에서 리샤코–루이젠 맵의 차수는 가위자국 $ C_n $과의 군집의 교차 수와 같으며, 이는 퇴화 및 모듈리 공간 기법을 통해 계산된다.
• 호리즈 공간 $ \mathcal{H}_n $의 코homology 대수는 기술되었고, 서로 다른 분지 유형을 나타내는 군집은 호모로지에서 특정 대수적 관계를 만족한다.
• 일반적인 1매개변수 가닥이 가위자국 $ C_n $과의 교차 지수는 $ 3(n-3) $이며, 이는 $ \overline{\mathcal{M}}_{n-1} $의 섬유에서 도함수의 판별식의 차수로부터 유도된다.
• 두 성분에서 $ p $와 $ q $개의 극점을 가진 유리 함수의 도함수의 판별식은 매개변수 $ u, v $에 대해 차수 $ 2n(2n-3) $이며, $ u=0 $, $ v=0 $, $ u/v = a_i/b_j $에서 알려진 중복도를 가지며, 이로 인해 나머지 $ 6(pq-1) $개의 근이 존재한다.
• 가닥 $ \sigma_{p,q} $와 가위자국 $ C_n $의 교차는 $ \mathcal{H}_{n-1} \times \mathbb{C}^2 $로의 이웃 이sovorphism을 통해 계산되며, 이 지수는 일반 섬유에서 $ C_{n-1} $의 차수, 즉 $ 3(n-3) $에 의해 결정된다.