[논문 리뷰] Coupled Multirate Infinitesimal GARK Schemes for Stiff Systems with Multiple Time Scales

Steven Roberts, Arash Sarshar외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 11. 30.

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics참고 문헌 39인용 수 19

한 줄 요약

이 논문은 강한 다중 시간 스케일을 가진 강한 비선형 시스템을 위한 결합 다속도 무한소 간격 GARK (MRI-GARK) 스킴을 소개한다. 이 스킴은 단계별로 빠른 성분과 느린 성분을 암시적으로 통합함으로써 안정성을 향상시킨다. 제안된 단계 예측-수정 및 내부 단계 예측-수정 MRI-GARK 방법은 분리된 방법에 비해 안정성을 향상시키면서도 4차까지의 순서 조건을 유지한다. 수치 실험을 통해 KPR 및 인버터 체인 모델과 같은 강한 다중 스케일 문제에서 뛰어난 효율성과 정확성을 입증하였다.

ABSTRACT

Traditional time discretization methods use a single timestep for the entire system of interest and can perform poorly when the dynamics of the system exhibits a wide range of time scales. Multirate infinitesimal step (MIS) methods (Knoth and Wolke, 1998) offer an elegant and flexible approach to efficiently integrate such systems. The slow components are discretized by a Runge-Kutta method, and the fast components are resolved by solving modified fast differential equations. Sandu (2018) developed the Multirate Infinitesimal General-structure Additive Runge-Kutta (MRI-GARK) family of methods that includes traditional MIS schemes as a subset. The MRI-GARK framework allowed the construction of the first fourth order MIS schemes. This framework also enabled the introduction of implicit methods, which are decoupled in the sense that any implicitness lies entirely within the fast or slow integrations. It was shown by Sandu that the stability of decoupled implicit MRI-GARK methods has limitations when both the fast and slow components are stiff and interact strongly. This work extends the MRI-GARK framework by introducing coupled implicit methods to solve stiff multiscale systems. The coupled approach has the potential to considerably improve the overall stability of the scheme, at the price of requiring implicit stage calculations over the entire system. Two coupling strategies are considered. The first computes coupled Runge-Kutta stages before solving a single differential equation to refine the fast solution. The second alternates between computing coupled Runge-Kutta stages and solving fast differential equations. We derive order conditions and perform the stability analysis for both strategies. The new coupled methods offer improved stability compared to the decoupled MRI-GARK schemes. The theoretical properties of the new methods are validated with numerical experiments.

연구 동기 및 목표

• 강한 빠른-느린 상호작용을 가진 강한 다중 스케일 시스템에서 분리된 암시적 MRI-GARK 방법의 안정성 한계를 해결한다.
• 빠른 성분과 느린 성분을 결합하여 안정성을 향상시키되, 정확도 순서를 유지하는 새로운 다속도 시간 적분 프레임워크를 개발한다.
• 강한 다중 스케일 시스템에 적합한 안정적이고 고차수(최대 4차)의 암시적 스킴을 구축한다.
• 무한소 수정을 활용한 다속도 전략과 임의의 빠른 해법기를 허용함으로써 효율적인 계산을 가능하게 한다.
• 기본적인 이론적 개선 사항을 KPR 및 인버터 체인 모델과 같은 기준 강한 문제에 대한 수치 실험을 통해 검증한다.

제안 방법

• 모든 예측 단계를 하나의 결합 암시적 시스템에서 계산한 후 빠른 성분에 대해 무한소 수정을 적용하는 단계 예측-수정 MRI-GARK (SPC-MRI-GARK) 스킴을 도입한다.
• 매번 느린 단계마다 결합된 예측 단계와 무한소 수정 단계를 번갈아 적용하는 내부 단계 예측-수정 MRI-GARK (IPC-MRI-GARK) 스킴을 개발한다.
• 예측 및 수정된 단계에서의 느린 경향을 보간하여 수정된 빠른 ODE를 구성함으로써 일致성과 안정성을 확보한다.
• 일반 구조의 가감형 룬게-쿠타(GARK) 프레임워크를 사용하여 두 새로운 가족의 순서 조건을 유도하며, 이는 이전의 MRI-GARK 이론을 확장한다.
• 두 스킴의 안정성 분석을 수행하여, 특히 강한 문제에서 분리된 MRI-GARK 방법보다 더 큰 안정성 영역을 확보함을 보였다.
• 표준 ODE 해법기(예: ode45)를 사용해 빠른 통합을 수행하고, 기초 방법(예: SDIRK, ESDIRK)을 사용해 느린 단계를 처리하며, 일부 경우에 적응형 단계 제어를 적용하였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 빠른 성분과 느린 성분 간의 암시적 결합은 분리된 MRI-GARK 방법에 비해 강한 다중 스케일 시스템의 다속도 시간 적분 안정성에 어떻게 기여하는가?
• RQ2 단계 예측-수정 및 내부 단계 예측-수정 MRI-GARK 스킴의 순서 조건과 안정성 특성은 무엇인가?
• RQ3 새로운 결합 MRI-GARK 방법은 기준 강한 문제에서 수렴 차수와 계산 효율성 측면에서 어떻게 성능을 발휘하는가?
• RQ4 결합 전략은 고차수 방법의 안정성 영역과 허용 가능한 시간 단계에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 제안된 스킴은 실제 강한 시스템인 인버터 체인 모델에서 단속도 대비 상당한 속도 향상을 달성할 수 있는가, 동시에 고정밀도를 유지할 수 있는가?

주요 결과

• SPC-MRI-GARK 및 IPC-MRI-GARK 스킴은 공식적으로 최대 4차의 정확도를 확보하였으며, 순서 조건은 철저히 유도되었고 수치 실험으로 검증되었다.
• KPR 문제에 대한 수치 실험 결과, 모든 새로운 스킴이 이론적 순서에 따라 수렴하며, 오차가 순서 조건에 의해 예측된 바와 같이 감소하는 것으로 확인되었다.
• SPC-MRI-GARK 방법은 전역적 결합 전략 덕분에 IPC-MRI-GARK 방법보다 더 큰 안정성 영역을 보였으며, 특히 강한 문제에서 두드러졌다.
• 인버터 체인 문제에서는 SPC-MRI-GARK 방법이 동일한 순서의 단속도 기초 방법 대비 8배에서 60배의 속도 향상을 달성하여 뛰어난 계산 효율성을 입증하였다.
• IPC-MRI-GARK 방법은 느린 기초 방법에서 비감소하는 abscissa 요구 조건으로 인해 안정성 제약을 받으며, 고차수 스킴에 대한 적용을 제한하지만, SPC-MRI-GARK 방법은 이 문제를 피한다.
• 강한 빠른-느린 상호작용이 있는 강한 시스템에서, 두 결합 스킴 모두 분리된 MRI-GARK 방법보다 안정성이 뛰어나다.