[논문 리뷰] Couples de Jacobiennes isogenes de courbes hyperelliptiques de genre arbitraire

Jean-François Mestre|ArXiv.org|2009. 02. 19.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 1인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 임의의 종수 $g \geq 2$ 에 대해, 그의 양변이 $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^g$-이소지니로 연결된 쌍의 hyperelliptic 곡선 $(C, C')$ 를 매개변수화하는 차원 $g+1$ 의 가속도를 구성한다. 이 구성은 대칭 다항식과 유리 함수를 통해 정의된 2-2 대응을 사용하며, $C$ 의 양변이 절대적으로 단순함을 증명하고, 모듈리 공간에서 일반적으로 비동일한 성질을 가짐을 보인다.

ABSTRACT

For any genus g greater than 1, we construct a family of dimension g+1 of pairs of hyperelliptic curves of genus g whose jacobian are 2^g isogeneous. ----- Pour tout genre g superieur ou egal a 2, nous construisons une famille a g+1 parametres de courbes de genre g telles qu'il existe une 2^g-isogenie entre leurs jacobiennes.

연구 동기 및 목표

• 임의의 종수 $g \geq 2$ 에 대해 hyperelliptic 곡선 쌍이 $2^g$-이소지니로 연결된다는 열린 문제를 해결하기 위해.
• 유리 함수의 체 위에서 이러한 곡선 쌍의 명시적 대수적 가속도를 구성하기 위해.
• 모든 $g \geq 2$ 에 대해 곡선 $C$ 의 양변이 절대적으로 단순함을 증명하기 위해.
• 이 가속도의 모듈리 공간에서의 이미지 차원이 $g+1$ 임을 보여주기 위해.
• 대칭 다항식 항등식과 유리 변환을 사용하여 고전적인 Richelot 대응을 임의의 종수로 일반화하기 위해.

제안 방법

• 기호 $a_1, \dots, a_g, v$ 를 포함한 방정식을 사용하여 두 hyperelliptic 곡선 $C$ 와 $C'$ 를 정의한다. $C$: $y^2 = (x-v)(vx-1)\prod_{i=1}^g (x^2 - a_i)$ 이고, $C'$: $y^2 = (x-v)(vx - (-1)^g)\prod_{i=1}^g (x^2 - b_i)$ 이며, 여기서 $b_i = \frac{a_i v^2 - 1}{a_i - v^2}$ 이다.
• 대칭 다항식 $S(x,z) = x^2 z^2 - v^2(x^2 + z^2) + 1$ 을 도입하여, $S(x,z) = 0$ 과 $yt = M(x,z)(v^2 + 1)(1 - xv - zv + xz)$ 를 통해 $C \times C'$ 의 부분집합인 대응 $\Gamma \subset C \times C'$ 를 정의한다.
• 다항식 항등식을 $S(x,z)$ 모듈로 사용하여, 대응 $\Gamma$ 가 $J(C)$ 와 $J(C')$ 사이에 $2^g$-이소지니를 유도함을 보이며, 그 핵은 차수 0의 위수 $[\sqrt{a_i}, 0] - [-\sqrt{a_i}, 0]$ 으로 생성됨을 보인다.
• 대응 $\Gamma' \circ \Gamma$ 가 $\mathrm{Pic}^0(C)$ 위에서 2배 곱셈으로 작용함을 증명함으로써, 이 이소지니의 차수가 $2^g$ 임을 확인한다.
• 오직 $x \mapsto \pm x, \pm 1/x$ 형태의 호모그래피만이 웨이어슈트라스 점 구성요소를 유지하므로, 이 가속도의 일반적 차원이 $g+1$ 임을 보여 모듈리 공간에서의 차원을 증명한다.
• 귀납법과 특수화(예: 홀수 $g$ 에서 $a_g = 0$ 으로 설정)를 사용하여, 짝수 종수에서의 구성에서 홀수 종수로의 확장을 수행한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 $g \geq 2$ 에 대해, $2^g$-이소지니로 연결된 hyperelliptic 곡선 쌍을 매개변수화하는 차원 $g+1$ 의 가속도가 존재하는가?
• RQ2 이러한 가속도는 대칭 유리 함수와 다항식 항등식을 사용하여 명시적으로 구성될 수 있는가?
• RQ3 모든 $g \geq 2$ 에 대해 곡선 $C$ 의 양변이 절대적으로 단순한가?
• RQ4 이 가속도의 모듈리 공간에서의 이미지 차원은 hyperelliptic 곡선의 종수 $g$ 에 대해 얼마인가?
• RQ5 특수화를 통해 짝수 종수에서 홀수 종수로의 구성 확장을 할 수 있는가?

주요 결과

• 모든 $g \geq 2$ 에 대해, $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^g$-이소지니로 연결된 hyperelliptic 곡선 쌍 $(C, C')$ 를 매개변수화하는 차원 $g+1$ 의 가속도가 존재한다.
• Frobenius 추적 계산과 $g$ 에 대한 귀납법을 통해, 모든 $g \geq 2$ 에 대해 $C$ 의 양변이 절대적으로 단순하다는 것이 증명되었다.
• 이 가속도의 모듈리 공간에서의 이미지 차원은 $g+1$ 이며, 오직 $\mathrm{PGL}_2$-변환 $x \mapsto \pm x, \pm 1/x$ 만이 웨이어슈트라스 점 구성요소를 유지하므로 이를 증명하였다.
• $g=2$ 일 때, 이 구성은 고전적인 Richelot 대응을 복원한다.
• 만일 $g$ 가 짝수이면, $a_{g/2+i} = \frac{a_i v^2 - 1}{a_i - v^2}$ 를 사용한 구성으로 인해, 그들의 양변은 $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ 에서의 자기형사가 존재함을 보여준다.
• 대응 $\Gamma$ 는 차수 $2^g$ 의 이소지니를 유도하며, $\Gamma' \circ \Gamma$ 가 $\mathrm{Pic}^0(C)$ 위에서 2배 곱셈으로 작용함을 보여 이를 확인하였다.