[논문 리뷰] Coupling Navier-Stokes and Gross-Pitaevskii equations for the numerical simulation of two-fluid quantum flows

Marc Brächet, Georges Sadaka외 3명|arXiv (Cornell University)|2022. 11. 14.

Quantum, superfluid, helium dynamics참고 문헌 40인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 유체의 비압축성 라우지에르-스토크스(NS) 방정식과 그로스-피타에프스키(GP) 방정식을 결합하여, 현상론적 근사 없이 양자 두유체 유동을 시뮬레이션하는 새로운 수치 모델을 제시한다. 정규화된 초유체 코어의 비선형성과 공변 기울기 기반의 슬립 속도장, 물리적으로 일관된 상호 마찰력에 기반한 모델은, 양자화된 비틀림의 동역학—특히 생성과 재결합—을 완전히 GP 기반 초유체 프레임워크 내에서 정확하게 시뮬레이션할 수 있게 한다. 이는 비틀림 결정, 디폴, 링 기준시험에 대해 검증되었으며, 전체 비틀림 재결합 동역학이 자연스럽게 포착된다.

ABSTRACT

Numerical methods for solving the Navier-Stokes equations for classical (or normal) viscous fluids are well established. This is also the case for the Gross-Pitaevskii equation, governing quantum inviscid flows (or superfluids) in the zero temperature limit. In quantum flows, like liquid helium II at intermediate temperatures between zero and 2.17 K, a normal fluid and a superfluid coexist with independent velocity fields. The most advanced existing models for such systems use the Navier-Stokes equations for the normal fluid and a simplified description of the superfluid, based on the dynamics of quantized vortex filaments, with ad hoc reconnection rules. There was a single attempt (C. Coste, The European Physical Journal B - Condensed Matter and Complex Systems, 1998) to couple Navier-Stokes and Gross-Pitaevskii equations in a global model intended to describe the compressible two-fluid liquid helium II. We present in this contribution a new numerical model to couple a Navier-Stokes incompressible fluid with a Gross-Pitaevskii superfluid. Coupling terms in the global system of equations involve new definitions of the following concepts: the regularized superfluid vorticity and velocity fields, the friction force exerted by quantized vortices to the normal fluid, the covariant gradient operator in the Gross-Pitaevskii based on a slip velocity respecting the dynamics of vortex lines in the normal fluid. A numerical algorithm based on pseudo-spectral Fourier methods is presented for solving the coupled system of equations.Finally, we numerically test and validate the new numerical system against well-known benchmarks for the evolution in a normal fluid of different types or arrangements of quantized vortices (vortex crystal, vortex dipole and vortex rings). The new coupling model opens new possibilities to revisit and enrich existing numerical results for complex quantum fluids.

연구 동기 및 목표

• 액체 헬륨 II에서 정상 및 초유체 성분이 독립된 속도장과 함께 공존하는 두유체 양자 유동의 완전히 결합된 수치 모델을 개발하는 것.
• 기존 모델이 현상론적 비틀림 필라멘트 동역학이나 단순화된 초유체 방정식에 의존하여 비틀림 생성 또는 재결합을 자연스럽게 기술할 수 없는 한계를 극복하는 것.
• 정규화된 코어의 비선형성, 슬립 속도, 상호 마찰력과 같은 물리적으로 타당한 개념을 활용하여 라우지에르-스토크스(NS)와 그로스-피타에프스키(GP) 방정식 간의 일관된 결합을 수립하는 것.
• 정상 유체 환경 내에서 양자화된 비틀림 동역학에 대한 알려진 기준시험에 대해 새로운 모델을 검증하는 것.

제안 방법

• 정상 유체에 대한 비압축성 라우지에르-스토크스(NS) 방정식과 초유체에 대한 그로스-피타에프스키(GP) 방정식을 결합하며, 수치적 해법으로 푸리에 스펙트럼 방법을 사용한다.
• 특이적인 선형 비틀림 행동을 완화하기 위해 정규화된 초유체 속도장을 구성하여 수치적 안정성과 물리적 일관성을 확보한다.
• 정상 유체와 비틀림 선 사이의 상대 운동을 바탕으로 마찰력과 망그누스 힘의 균형에서 유도된 슬립 속도장을 도입하며, 이를 공변 기울기 연산자를 통해 GP 방정식에 통합한다.
• 상호 마찰력을 NS 방정식의 소스 항으로 모델링하며, 초유체 코어의 비선형성과 슬립 속도에 기반하여 두 유체 간의 운동량 이행을 보장한다.
• HVBK 및 LV-NS 모델과의 호환성을 유지하면서도, 비틀림 생성 및 재결합을 포함한 GP 방정식의 전체 동역학을 보존하는 방식으로 결합 항을 설계한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 현상론적 비틀림 필라멘트 모델에 의존하지 않고도 완전히 결합된 NS-GP 모델이 두유체 양자 유동을 시뮬레이션할 수 있는가?
• RQ2 정상 및 초유체 성분 간의 상호 마찰력은 어떻게 GP 방정식 프레임워크에서 일관되게 유도될 수 있는가?
• RQ3 새로운 결합 모델은 정상 유체 환경에서 알려진 비틀림 링, 디폴, 결정의 비틀림 동역학을 재현할 수 있는가?
• RQ4 모델은 추가적인 가정 없이도 비틀림 재결합과 생성을 자연스럽게 포착할 수 있는가?

주요 결과

• 새로운 GP-NS 결합 모델은 정상 유체 내에서 비틀림 결정의 진화를 성공적으로 시뮬레이션하여 예상되는 동역학과 안정성을 재현한다.
• 모델은 비틀림 디폴의 형성과 운동을 정확히 포착하며, 비틀림 선 간의 상호 유도와 반대 방향 회전을 포함한다.
• 비틀림 링의 경우, 초유체 링과 두 개의 반대 방향으로 돈다는 정상 유체 비틀림 링으로 구성된 삼중 비틀림 구조를 재현하여 기존의 LV-NS 결과와 일치한다.
• 초유체 비틀림 링의 정면 충돌 시뮬레이션에서, 비틀림 재결합이 비틀림 선 세그먼트의 교환과 새로운 난잡한 구조의 형성과 함께 자연스럽게 시뮬레이션되며, 현상론적 재결합 규칙이 전혀 필요로 하지 않는다.
• LV-NS 모델보다 재결합 이전에 더 강한 반발 운동이 관찰되어, 링 사이의 정상 유체의 끈적임에 영향을 미치며, 더 현실적인 유체역학적 반응을 나타낸다.