[논문 리뷰] Courant algebroids from categorified symplectic geometry

Christopher L. Rogers|arXiv (Cornell University)|2009. 12. 30.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 20인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 2-플렉틱 다양체—닫힘되고 비퇴화된 3형식을 지닌 다양체—와 정확한 코르낭 알제브로이드 사이의 직접적인 대응 관계를 수립한다. 각 2-플렉틱 형식 ω는 Ševera 클래스 [ω]를 가진 코르낭 알제브로이드 Eω를 유도하며, 이는 2-플렉틱 구조를 보존하는 무한소 대칭으로서 해밀턴 1형식의 리 2대수를 코르낭 알제브로이드 Eω의 단면의 리 2대수에 임베딩함으로써 보여진다.

ABSTRACT

In categorified symplectic geometry, one studies the categorified algebraic and geometric structures that naturally arise on manifolds equipped with a closed nondegenerate (n+1)-form. The case relevant to classical string theory is when n=2 and is called "2-plectic geometry". Just as the Poisson bracket makes the smooth functions on a symplectic manifold into a Lie algebra, there is a Lie 2-algebra of observables associated to any 2-plectic manifold. String theory, closed 3-forms and Lie 2-algebras also play important roles in the theory of Courant algebroids. Courant algebroids are vector bundles which generalize the structures found in tangent bundles and quadratic Lie algebras. It is known that a particular kind of Courant algebroid (called an exact Courant algebroid) naturally arises in string theory, and that such an algebroid is classified up to isomorphism by a closed 3-form on the base space, which then induces a Lie 2-algebra structure on the space of global sections. In this paper we begin to establish precise connections between 2-plectic manifolds and Courant algebroids. We prove that any manifold M equipped with a 2-plectic form omega gives an exact Courant algebroid E_omega over M with Severa class [omega], and we construct an embedding of the Lie 2-algebra of observables into the Lie 2-algebra of sections of E_omega. We then show that this embedding identifies the observables as particular infinitesimal symmetries of E_omega which preserve the 2-plectic structure on M.

연구 동기 및 목표

• 2-플렉틱 기하학과 코르낭 알제브로이드 사이의 정확한 수학적 연결을 수립하기 위해.
• 모든 2-플렉틱 다양체 (M, ω)가 Ševera 클래스 [ω]를 가진 정확한 코르낭 알제브로이드 Eω를 유도함을 보여주기 위해.
• 해밀턴 1형식의 리 2대수를 코르낭 알제브로이드 Eω의 전역 단면의 리 2대수에 임베딩하는 것을 구성하기 위해.
• 이 임베딩의 상을 M에서 2-플렉틱 구조를 보존하는 Eω의 무한소 대칭으로 식별하기 위해.
• 관측량이 수반 작용을 통해 2-플렉틱 기하학에서 해밀턴 2-플렉토모피즘으로서의 역할을 명확히 하기 위해.

제안 방법

• 3형식 ω를 Ševera 클래스로 사용하여 2-플렉틱 다양체 (M, ω) 위에 정확한 코르낭 알제브로이드 Eω를 구성한다.
• 공식: (v₁, α₁) ∘ω (v₂, α₂) = [[(v₁, α₁), (v₂, α₂)]]ω + ½ d⟨(v₁, α₁), (v₂, α₂)⟩를 통해 Eω의 단면에 대한 비대칭 브라켓을 정의한다.
• 1형식 α에 대응하는 해밀턴 벡터장 vα를 사용하여 φ₀: Ham(M) → Γ(Eω)를 정의한다. φ₀(α) = (vα, -α).
• φ₀의 상에 속하는 (u,β)에 대해, 단면에 대한 수반 작용 ad(u,β)는 (u, 0) ∈ Vect(M) ⊕ Ω²(M)의 도함수로 표현됨을 보인다.
• 이러한 단면들이 φₜ*ω = ω를 만족하는 미분형식 φt: M → M에 대응하는 1-파라미터 가군의 코르낭 알제브로이드 자동형사를 생성함을 보여준다.
• 해밀턴 1형식의 리 2대수의 구조가 φ₀를 통해 코르낭 알제브로이드 Eω의 단면의 리 2대수에 임베딩됨을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 2-플렉틱 다양체 (M, ω)는 어떻게 정확한 코르낭 알제브로이드 Eω를 구성할 수 있는가?
• RQ2 M 위의 해밀턴 1형식의 리 2대수와 Eω의 전역 단면의 리 2대수 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ3 Eω의 어떤 단면이 M 위의 2-플렉틱 구조를 보존하는 대칭을 나타내는가?
• RQ4 Eω의 단면에 대한 수반 작용은 비대칭 브라켓의 도함수와 어떻게 관련되는가?
• RQ5 2-플렉틱 기하학의 관측량은 관련 코르낭 알제브로이드의 무한소 대칭으로 식별될 수 있는가?

주요 결과

• 모든 2-플렉틱 다양체 (M, ω)는 Ševera 클래스 [ω] ∈ H³dR(M)를 가진 M 위의 유일한 정확한 코르낭 알제브로이드 Eω를 유도한다.
• α ↦ (vα, -α)로 정의된 사상 φ₀: Ham(M) → Γ(Eω)는 해밀턴 1형식의 리 2대수를 코르낭 알제브로이드 Eω의 전역 단면의 리 2대수에 임베딩한다.
• φ₀의 상에 속하는 단면 (u, β)는 ad(u,β)(v, α) = (ℒᵤv, ℒᵤα)를 만족하며, 이는 그 수반 작용이 2-플렉틱 구조를 보존함을 의미한다.
• 이러한 단면의 수반 작용은 도함수 (u, 0) ∈ Vect(M) ⊕ Ω²(M)에 대응하므로, Eω의 대칭을 생성함을 의미한다.
• ad(u,β)에 의해 생성되는 코르낭 알제브로이드 자동형사의 1-파라미터 가군은 φₜ*ω = ω를 만족하는 1-파라미터 가군의 미분형식 φt: M → M에 대응한다.
• 이러한 미분형식들은 2-플렉틱 설정으로 일반화된 해밀턴 2-플렉토모피즘으로서, 심플렉틱 해밀턴 미분형식의 일반화이다.