[논문 리뷰] Courbes de genre 3 avec S3 comme groupe d'automorphismes

Jean-François Mestre|arXiv (Cornell University)|2010. 02. 25.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 7인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 세 변수에 대한 대칭 다항식을 사용하여 유한체 위의 종수 3 곡선을 구성하며, 자동화군으로서 전체 대칭군 $S_3$을 갖는다. $n$ 이 홀수일 때 $q = 3^n$ 이면 $D_q(3) \leq 3$ 이고, $n$ 이 홀수일 때 $q = 7^n$ 이면 $D_q(3) \leq 9$ 라는 것을 증명하여 최적 곡선에 대한 유계 결함을 확립한다. 핵심 기여는 제약 조건이 있는 타원 곡선의 곱으로의 이소지니를 통해 최적 종수 3 곡선을 명시적으로 구성하는 것이다.

ABSTRACT

this paper is devoted to the study of curves of genus 3 with group of automorphisms the symmetric group S3, principally over finite fields, in view to obtain optimal curves. For instance, we prove that, over the finite fields of char. 3, for any elliptic curve E with j-invariant not in F_3, there exists a curve of genus 3 whose jacobian is isogeneous to E^3; we have also results in char. 7, and these curves provide many examples of optimal curves in any char. Nous etudions les courbes de genre 3 dont le groupe d'automorphismes est S3, en vue d'obtenir des courbes optimales sur les corps finis. En particulier, en car. 3, si E est unecourbe elliptique dont l'invariant n'est pas dans F_3, il existe une telle courbe de genre 3 dont la jacobienne est isogene a E^3; dans le cas de la caracteristique 7, des resultats plus partiels sont obtenus. Par ailleurs, ces courbes semblent donner experimentalement de nombreux cas de courbes optimales.

연구 동기 및 목표

• 유한체 위에서 자동화군으로서 $S_3$을 갖는 종수 3 곡선을 연구하며, 이는 유리점이 많은 곡선을 찾는 데 동기를 부여한다.
• Serre의 질문에 응답한다: $\mathbb{F}_q$ 위의 종수 $g$ 곡선에 대한 결함 $D_q(g)$ 에 대해 균일한 상한 $c(g)$ 가 존재하는가?
• 특수한 $q = 3^n$, $n$ 이 홀수일 때와 $q = 7^n$, $n$ 이 홀수일 때, $\mathbb{F}_q$ 위에서 최적 종수 3 곡선을 대칭 다항식 가중치와 타원 곡선의 곱으로의 이소지니를 활용하여 명시적으로 구성한다.
• 특수한 $S_3$ 대칭 곡선 가중치 $C_{a_1,a_2,a_3,a_4}$ 를 사용하여, $q = 3^n$, $n$ 이 홀수일 때 결함 $D_q(3)$ 이 3 이하로 유계임을 증명하고, $q = 7^n$, $n$ 이 홀수일 때는 9 이하임을 증명한다.
• 특수한 $\mathbb{F}_{3^5}$ 에서 $q+1+3m_q-3$ 개의 점을 갖는 곡선을 명시적으로 구성하여, 알려진 상한의 날카로움을 보여준다.

제안 방법

• 세 변수에 대한 대칭 다항식을 사용하여 종수 3 곡선 $C_{a_1,a_2,a_3,a_4}$ 를 프로젝티브 평면 곡선으로 매개변수화한다: $a_1T_1^4 + a_2T_1^2T_2 + a_3T_1T_3 + a_4T_2^2 = 0$, 여기서 $T_1 = X+Y+Z$, $T_2 = XY+YZ+ZX$, $T_3 = XYZ$ 이며, $S_3$ 이 $X,Y,Z$ 에 자연스럽게 작용한다.
• 곡선 $C_{a_1,a_2,a_3,a_4}$ 의 아벨 곡선은 $E_1^2 \times E_2$ 와 이소지니적임을 이용한다. 여기서 $E_1$ 과 $E_2$ 는 각각 $S_3$ 의 순서 2 및 순서 3 부분군에 의해 $C$ 의 몫으로 얻어진다.
• Weil 쌍형을 통해 $E_1$ 과 $E_2$ 의 3- torsion 점들 사이에 Galois 호환 이sovorphism 를 설정함으로써 이소지니의 구조를 뒷받침한다.
• 유한체 $\mathbb{F}_q$ 위에 곡선을 구성하기 위해, 동일한 불변량 또는 제어된 Frobenius 추적을 갖는 타원 곡선 $E_1$, $E_2$ 를 선택함으로써, 결과 곡선이 원하는 수의 유리점을 갖도록 보장한다.
• 기존의 타원 곡선의 점 수 및 추적 조건에 관한 결과를 활용하여, $\mathbb{F}_q$ 위에서 $S_3$ 대칭 가중치 $C_{a_1,a_2,a_3,a_4}$ 를 특수화하여 최적의 점 수를 달성한다.
• Hasse 불변량과 Frobenius 추적을 사용하여, $q=3^5$ 일 때 공식 $\#C(\mathbb{F}_q) = q+1 + 3m_q - 3$ 을 통해 종수 3 곡선의 점 수를 제어한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 $n$ 이 홀수일 때 $q = 3^n$ 이면, $\#C(\mathbb{F}_q) = q+1+3m_q-3$ 인 종수 3 곡선이 존재하는가? 그리고 이 경우 결함 $D_q(3)$ 이 유계인가?
• RQ2 모든 $n$ 이 홀수일 때 $q = 7^n$ 이면, $\#C(\mathbb{F}_q) = q+1-3a$ 를 만족하는 곡선을 구성할 수 있는가? 그리고 최대 가능한 결함은 무엇인가?
• RQ3 $S_3$ 대칭 곡선 가중치 $C_{a_1,a_2,a_3,a_4}$ 를 사용하여, 많은 비율의 $q$ 에 대해 최적 종수 3 곡선을 구성할 수 있는가?
• RQ4 $q = 3^n$, $n$ 이 홀수일 때, 결함 $D_q(3)$ 이 균일하게 유계인가? 만약 그렇다면, 가능한 최선의 상한은 무엇인가?
• RQ5 만약 $-a_2$ 가 $\mathbb{F}_q$ 에서 제곱이 아니면, 이 구성은 $\mathbb{F}_{3^{2n}}$ 에서 비초월적 최적 곡선으로 확장될 수 있는가?

주요 결과

• 모든 $n$ 이 홀수일 때 $q = 3^n$ 이면 $D_q(3) \leq 3$ 이고, 이 상한은 날카롭다: $\#C(\mathbb{F}_q) = q+1+3m_q-3$ 인 곡선이 존재한다.
• 모든 $n$ 이 홀수일 때 $q = 7^n$ 이면 $D_q(3) \leq 9$ 이고, $a$ 가 3의 배수이면서 7 모듈로에서 제곱이면 $\#C(\mathbb{F}_q) = q+1-3a$ 인 곡선이 존재하거나, $a \equiv 1,4,5,7,8,11 \pmod{12}$ 이면 $\#C(\mathbb{F}_q) = q+1 \pm 3a$ 인 곡선이 존재한다.
• $\mathbb{F}_{3^5}$ 에서는 $\#C(\mathbb{F}_q) = 3^5 + 1 + 3 \cdot 31 - 3 = 256 + 1 + 93 - 3 = 347$ 인 곡선이 존재하며, 이는 Lauter 와 Serre 가 제시한 상한과 정확히 일치한다.
• $a_3 = -1$ 이고 $-a_2$ 가 $\mathbb{F}_q$ 에서 제곱이 아니면, 몫 곡선은 $j$-불변량 0 을 갖는 타원 곡선이며, $\mathbb{F}_{3^{2n}}$ 에서의 종수 3 곡선은 비초월적이고 최적이다.
• $p \leq 10000$ 일 때, $S_3$ 대칭 가중치 가중치를 특수화하면 약 90% 의 경우에서 $\mathbb{F}_p$ 위에서 최적 곡선을 얻는다.
• 이 구성은 $\overline{\mathbb{Q}}$-이소지니에 의해 $\{-3,-7,-19,-43,-67,-163,-16,-28\}$ 의 판별식을 갖는 CM 타원 곡선의 세 제곱과 동치인 아벨 곡선을 갖는 종수 3 곡선을 $\mathbb{Q}$ 위에 생성한다.