[논문 리뷰] Covariant Hamiltonians, sigma models and supersymmetry

Ulf Lindström|arXiv (Cornell University)|2020. 04. 02.

Algebraic structures and combinatorial models인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 스핀럴 모멘타를 통해 편미분에 대한 이중성을 갖는 (1,1) 초대칭 시그마 모형에 대해 공변 해밀토니안 형식을 제안하며, De Donder-Weyl 형식을 초월하여 초공간으로 일반화한다. 다중심플렉틱 구조와 해밀토니안 다중벡터를 유도하여 라그랑지안 방정식과의 등가성을 입증하고, 확장된 위상공간을 통해 추가적인 비표현 초대칭성을 드러내며, T ⊕ T* ⊕ T* 상의 일阶 모형 작용이 목표 공간 기하학의 특정 조건 하에서 향상된 초대칭성을 나타냄.

ABSTRACT

We introduce a phase space with spinorial momenta, corresponding to fermionic derivatives, for a 2d supersymmetric (1, 1) sigma model. We show that there is a generalisation of the covariant De Donder-Weyl Hamiltonian formulation on this phase space with canonical equations equivalent to the Lagrangian formulation, find the corresponding multisymplectic form and Hamiltonian multivectors. The covariance of the formulation makes it possible to see how additional non-manifest supersymmetries arise in analogy to those of the Lagrangian formulation. We then observe that an intermediate phase space Lagrangian defined on the sum of the tangent and cotanget spaces is a first order Lagrangian for the sigma model and derive additional supersymmetries for this.

연구 동기 및 목표

• 스핀럴 모멘타 S±i = ∂L/∂D±φi 를 사용하여 (1,1) 초대칭 시그마 모형에 대해 공변 해밀토니안 형식을 개발한다.
• De Donder-Weyl 해밀토니안 형식을 초공간으로 일반화하여 (1,1) 초로프-파울리 불변성을 유지한다.
• T ⊕ T* ⊕ T* 상의 확장된 위상공간 모형을 분석하여 추가적인 비표현 초대칭성을 규명한다.
• 해밀토니안 구조를 일반화된 기하학과 연결하며, 비틀림과 계량 호환성 존재 시 Gualtieri 유형의 사상이 나타나는 것을 밝힌다.
• 라그랑지안과 해밀토니안 구조를 통합하는 일阶 모형 작용을 유도하여 확장 초대칭의 체계적 분석을 가능하게 한다.

제안 방법

• 스핀럴 모멘타 S±i = ∂L/∂D±φi 를 도입하여 라그랑지안에서 De Donder-Weyl 해밀토니안 HDW = S−i Eij S+i 로의 공변 레지오트르 변환을 수행한다.
• 다중심플렉틱 형식 Ω = Cαβ Eβ ∧ dφi ∧ dSαi 와 해밀토니안 다중벡터 X = XAα ∂A ∧ Eα 를 구성하여 정준 방정식을 코딩한다.
• HDW 에서 유도된 De Donder-Weyl 방정식 Dαφi = ∂HDW/∂Sαi 와 DαSαi = ∂HDW/∂φi 를 유도하여 원래 장 방정식과의 등가성을 입증한다.
• 차수 반대칭화와 호지 쌍대를 사용하여 일반화된 포아송 괄호 { , }GP 를 정의하며, 공액 쌍 {φi, Sj}GP = δij 를 만족한다.
• 위상공간 T ⊕ T* ⊕ T* 상에서 일阶 모형 작용 Zt E Z 를 구성하며, 여기서 Z = (D+φi, D−φi, S−i, S+i) 이고, E 는 계량과 비틀림을 포함한 대칭 행렬이다.
• 확장 초대칭 변환 δφi = ε+ J(+)i j D+φj + ε− J(−)i j D−φj 에 대한 모형 작용의 불변성을 분석하여 닫힘과 공변성을 입증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 De Donder-Weyl 해밀토니안 형식은 어떻게 (1,1) 초대칭 시그마 모형에 스핀럴 모멘타를 통해 일반화될 수 있는가?
• RQ2 이 초대칭 공변 해밀토니안 프레임워크 내에서 다중심플렉틱 형식과 해밀토니안 다중벡터의 구조는 어떠한가?
• RQ3 확장된 위상공간 모형 T ⊕ T* ⊕ T* 에서 추가적인 비표현 초대칭성은 어떻게 유도되는가?
• RQ4 이러한 확장 초대칭성의 존재를 위한 목표 공간 기하학 조건(Gij, Bij, Hijk)은 무엇인가?
• RQ5 T ⊕ T* ⊕ T* 상의 일阶 모형 작용은 어떻게 라그랑지안과 해밀토니안 형식을 통합하며 숨겨진 대칭성을 드러내는가?

주요 결과

• 공변 해밀토니안 HDW = S−i Eij S+i 는 완전히 (1,1) 초로프-파울리 불변이며 원래 라그랑지안 장 방정식과 등가이다.
• 정준 관계를 도입한 후 De Donder-Weyl 방정식은 방정식 (2.4) 를 재현한다.
• 다중심플렉틱 형식 Ω = Cαβ Eβ ∧ dφi ∧ dSαi 와 해밀토니안 다중벡터 X 는 X⌟Ω = dHDW 를 만족하여 동역학의 기하학적 기초를 제공한다.
• 일반화된 포아송 괄호 { , }GP 는 {φi, Sj}GP = δij 와 {Qiα, H}GP = ∂iα HDW 를 만족하며 정준 공액성을 확인한다.
• 일阶 모형 작용 Zt E Z 는 J(±) 가 계량을 유지하고 비틀림이 없는 접선일 경우, 확장 초대칭 변환 δφi = ε+ J(+)i j D+φj + ε− J(−)i j D−φj 에 대해 불변하다.
• B = 0 인 경우, 모멘타 변환 δS±i 는 δS+i = ε+ (Jk i ∇−S−k − Jks S−s S+n Γn ki) 와 δS−i = −ε+ (Jk i ∇+S−k + Jks S−s S−n Γn ki) 로 간소화되며, 초대칭 대수학에 대해 닫혀 있음을 보여준다.