[논문 리뷰] Covering groupoids of categorical groups

Osman Mucuk, Tunçar Şahan|arXiv (Cornell University)|2016. 01. 26.

Fuzzy and Soft Set Theory인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 H-군의 기본군oids가 범주적 군임을 증명하며, H-군의 피복 공간의 범주와 그 기본군oids의 피복 군oids의 범주 사이의 동치를 가능하게 한다. 핵심 기여는 H-군의 구조가 기본 피복에 올려져, 동일한 연산을 갖는 H-군이 됨을 보여주는 것이다.

ABSTRACT

If $X$ is a topological group, then its fundamental groupoid $π_1X$ is a group-groupoid which is a group object in the category of groupoids. Further if $X$ is a path connected topological group which has a simply connected cover, then the category of covering spaces of $X$ and the category of covering groupoids of $π_1X$ are equivalent. In this paper we prove that if $(X,x_0)$ is an $H$-group, then the fundamental groupoid $π_1X$ is a categorical group. This enable us to prove that the category of the covering spaces of an $H$-group $(X,x_0)$ is equivalent to the category of covering groupoid of the categorical group $π_1X$.

연구 동기 및 목표

• H-군의 기본군oids의 대수적 구조를 조사한다.
• H-군의 기본군oids에 범주적 군의 구조를 수립한다.
• H-군의 피복 공간의 범주가 그 기본군oids의 피복 군oids의 범주와 동치임을 증명한다.
• 공간의 H-군 구조가 군oids의 올림 정리들을 통해 기본 피복으로 올려지는지 보여준다.
• 범주적 군 이론과 피복 준동형을 사용하여 위상군의 결과를 H-군으로 일반화한다.

제안 방법

• 연속적인 곱셈, 역원, 호모토피 항등원을 갖는 H-군의 구조를 사용하여, 기본군oids π₁X가 호모토피를 통해 일관성 조건을 만족하는 곱셈, 역원, 항등원에 대한 함자 구조를 갖는다는 것을 보인다.
• 피복 호모토피 정리를 적용하여 기저 공간의 기본군oids에서 그 기본 피복으로까지 함자(곱셈, 역원, 항등원)를 올린다.
• 단순 연결된 군oids는 1-연결임을 이용하여 함자와 호모토피의 유일한 올림이 가능하다는 점을 활용한다.
• 기본군oids의 피복 공간과 피복 군oids 사이의 동치를 활용하여, H-군의 피복과 범주적 군oids의 피복을 연결한다.
• 호모토피 올림을 통해 올린 함자들이 결합법칙, 항등원, 역원 조건을 충족함을 증명한다.
• 군oids의 피복 준동형이 기본군oids의 부분군과 대응됨을 이용하여, 이를 범주적 군 준동형으로 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 H-군의 기본군oids는 범주적 군의 구조를 갖는가?
• RQ2 H-군의 피복 공간의 범주와 그 기본군oids의 피복 군oids의 범주 사이에 동치가 존재하는가?
• RQ3 공간의 H-군 구조가 군oids 피복 이론을 통해 기본 피복으로 올려지는가?
• RQ4 H-군의 기본군oids의 피복 준동형이 범주적 군 준동형으로 올라가기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ5 H-군의 기본 피복은 기저 공간으로부터 H-군의 구조를 어떻게 상속하는가?

주요 결과

• 기본군oids π₁X의 H-군 (X,x₀)는 범주적 군이며, 곱셈, 역원, 항등원에 대한 함자가 존재하고, 호모토피를 통해 일관성 조건을 만족한다.
• H-군 (X,x₀)의 피복 공간의 범주는 그 기본군oids π₁X의 피복 군oids의 범주와 동치이다.
• 만약 (X,x₀)가 단순 연결된 기본 피복 (X̃,x̃₀)을 갖는 H-군이라면, X의 H-군 구조는 X̃로 올려져 X̃도 H-군이 된다.
• 피복 사상 p: (X̃,x̃₀) → (X,x₀)는 올려진 연산 하에 H-군의 준동형이 된다.
• 기본 피복의 1-연결성과 군oids의 피복에서의 호모토피 올림 성질 덕분에 H-군의 구조가 올려진다.
• π₁X̃에서 올려진 곱셈과 역원 함자들은 호모토피를 통해 요구되는 결합법칙과 항등원 조건을 만족하여 잘 정의된 범주적 군의 구조를 이룬다.