[논문 리뷰] Covering spaces of character varieties

Sean Lawton, Daniel A. Ramras|arXiv (Cornell University)|2014. 02. 04.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 48인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 리 군의 커버링 호모모르피즘이 표면, 자유군, 자유 아벨 군의 기본군에 대한 표현의 모듈리 공간(특성 다양체) 사이에 정규 커버링 맵을 유도함을 증명한다. 조건은 타깃 군의 기본군이 토르션 자유일 때이다. 핵심 결과는 모듈리 공간 위의 유도된 사상이 구조군이 Hom(Γ, ker(p))와 동형인 정규 커버링임을 보이며, 군 Γ가 지수 취소 성질을 갖는 경우 이 사상은 전사가 되어 특성 다양체의 기본군을 명시적으로 계산할 수 있다. 이는 특히 g ≥ 1일 때, Hom(π₁Mᵍ, SU)/SU의 안정적 모듈리 공간이 ℂP∞과 호모토피 동치임을 포함한다.

ABSTRACT

Let F be a finitely generated discrete group. Given a covering map H to G of Lie groups with G either compact or complex reductive, there is an induced covering map Hom(F, H) to Hom(F, G). We show that when the fundamental group of G is torsion-free and F is free, free Abelian, or the fundamental group of a closed Riemann surface M of genus g, this map induces a covering map between the corresponding moduli spaces of representations. We give conditions under which this map is actually the universal covering, leading to new information regarding fundamental groups of these moduli spaces. Let pi be the fundamental group of M. As an application, we show that for g>0, the stable moduli space Hom(pi, SU)/SU is homotopy equivalent to infinite complex projective space. In the Appendix by Ho and Liu, it is shown show that there is a bijection between the number of connected components of Hom(pi, G) and the fundamental group of [G,G] for all complex connected reductive Lie groups G.

연구 동기 및 목표

• 유한 생성 군에서 리 군으로의 표현의 모듈리 공간(특성 다양체)의 위상적 구조를 이해하기 위해.
• 리 군 간의 커버링 맵이 그에 대응하는 특성 다양체 사이에 커버링 맵을 어떻게 유도하는지 조사하기 위해.
• 표면군, 자유군, 자유 아벨 군에 대해 기본군이 토르션 자유일 조건 하에서 특성 다양체의 기본군을 계산하기 위해.
• 유도된 사상이 유일한 커버링이 되는 조건을 확립하여 그 위상적 성질에 대한 새로운 정보를 밝혀내기 위해.
• 특히 표면군에 대해 특성 다양체의 경로 성분에 관한 결과를 복소 재구성 리 군으로 확장하기 위해.

제안 방법

• 커버링 호모모르피즘 p: H → G로부터 유도된 사상 p* : Hom(Γ, H) → Hom(Γ, G)를 이용해 표현의 대응 모듈리 공간 사이의 사상을 구성하기 위해.
• 점집합 몫공간 QΓ(H) → QΓ(G) 위의 유도된 사상이 구조군이 Hom(Γ, ker(p))인 정규 커버링 맵임을 증명하기 위해.
• 이 사상의 상이 공역 내 경로 성분들의 합집합임을 보이고, 모듈리 공간 XΓ(H) → XΓ(G)로의 제한이 동일한 구조군을 가진 정규 커버링 맵임을 보여주기 위해.
• 지수 취소 성질을 갖는 군(예: 자유군, 자유 아벨 군, 표면군)의 이론을 적용하여 커버링 맵이 전사임을 증명하고, 이로 인해 기본군을 명시적으로 계산할 수 있음을 보장하기 위해.
• 유일한 커버링 사상 ρℂ: 𝔥ℂ × ~DG → G를 이용해 잘 정의된 장애물 사상 O₂: Hom(π₁Σ, G) → Ker(ρℂ) ≅ π₁(DG)를 정의하고, 그 섬유들이 연결되어 있음을 증명하여 π₀(Hom(π₁Σ, G)) ≅ π₁(DG)의 전단사성을 확립하기 위해.
• 대수기하학과 기하학적 불변량 이론(GIT)의 결과를 활용하여 다중안정 몫공간 XΓ(G)가 유클리드 위상과 동치인 GIT 몫공간과 위상동형임을 보장하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 리 군의 커버링 호모모르피즘 p: H → G가 주어졌을 때, 그에 대응하는 표현의 모듈리 공간 XΓ(H) → XΓ(G) 사이에 커버링 맵을 유도하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 유도된 모듈리 공간 간 커버링 맵이 정규(정규)일 조건은 무엇이며, 그 구조군은 무엇인가?
• RQ3 Γ가 닫힌 리만 표면의 기본군이고 G가 토르션 자유 π₁(G)를 갖는 복소 재구성 리 군 또는 컴acts 리 군일 때, 모듈리 공간 XΓ(G)의 기본군은 무엇인가?
• RQ4 표면군 π₁Σ과 복소 재구성 G에 대해 Hom(π₁Σ, G)의 경로 성분은 DG의 기본군 π₁(DG)와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 모듈리 공간 간의 유일한 커버링 맵은 명시적으로 실현될 수 있으며, 이는 안정적 모듈리 공간의 호모토피 유형에 대해 어떤 의미를 갖는가?

주요 결과

• G가 컴팩트이거나 복소 재구성이고 π₁(G)가 토르션 자유일 경우, 유도된 사상 p* : XΓ(H) → XΓ(G)는 구조군이 Hom(Γ, ker(p))와 동형인 정규 커버링 맵이다.
• 지수 취소 성질을 갖는 군 Γ(예: 자유군, 자유 아벨 군, 표면군)에 대해, 유도된 커버링 맵은 전사이므로 구조군이 섬유 위에서 추이적으로 작용한다.
• g ≥ 1인 표면 Σ와 토르션 자유 π₁(G)를 갖는 복소 재구성 G에 대해, 표면군 π₁Σ에 대한 모듈리 공간 Xπ₁Σ(G)의 기본군은 π₁(G)^b₁(Σ)와 동형이며, 여기서 b₁(Σ)는 첫 번째 베티 수이다.
• g ≥ 1일 때, 안정적 모듈리 공간 Hom(π₁Mᵍ, SU)/SU는 ℂP∞과 호모토피 동치이다. 이 결과는 특성 다양체의 유일한 커버링 구조에서 유도된다.
• 복소 재구성 G에 대해 Hom(π₁Σ, G)의 경로 성분은 π₁(DG), 즉 도출 부분군의 기본군과 전단사이다. 이는 부록에서 Ho와 Liu에 의해 증명되었다.
• 장애물 사상 O₂: Hom(π₁Σ, G) → π₁(DG)는 잘 정의되어 있으며 전사이며, 그 섬유들은 연결되어 있어 π₀(Hom(π₁Σ, G)) ≅ π₁(DG)의 전단사성을 보장한다.