[논문 리뷰] Coxeter groups and Kähler groups

Pierre Py|arXiv (Cornell University)|2012. 11. 07.

Advanced Combinatorial Mathematics참고 문헌 28인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 카플레르 군에서 코克斯터 군으로의 호모모르피즘을 조사하며, 차원이 2 이상인 코컴팩트 복소 하이퍼볼릭 격자들이 코克斯터 군이나 오른쪽-모양 아르틴 군에 통합될 수 없다는 것을 증명한다. 핵심 결과는 이러한 격자들이 아벨 군과 표면 군 오비폴드의 곱으로 인한 유한지수 부분군을 가져야 하며, 이는 이러한 군의 클래스 내에서의 통합 성질을 제한한다.

ABSTRACT

We study homomorphisms from Kähler groups to Coxeter groups. As an application, we prove that a cocompact complex hyperbolic lattice (in complex dimension at least 2) does not embedd into a Coxeter group or a right-angled Artin group. This is in contrast with the case of real hyperbolic lattices.

연구 동기 및 목표

• 카플레르 군에서 코크스터 군으로의 호모모르피즘의 구조를 이해하기 위해.
• 코컴팩트 복소 하이퍼볼릭 격지가 코크스터 군이나 오른쪽-모양 아르틴 군에 통합될 수 있는지 판단하기 위해.
• 카플레르 군의 유한지수 부분군이 이러한 통합을 허용할 수 있는 제약 조건을 설정하기 위해.
• 표면 군과 아벨 군의 직접곱의 부분군에 관한 군 이론 결과를 적용하여 가능한 통합을 제약하기 위해.

제안 방법

• 유한 커버를 이용한 컴acts 카플레르 다양체의 분석을 통해 코크스터 군으로의 호모모르피즘의 구조를 분석하기 위해.
• 문제를 하이퍼볼릭 2-오비폴드와 그 기본군으로의 피브레이션 분석으로 환원하기 위해.
• 브리드슨, 하우이, 밀러, 숏의 표면 군과 자유 아벨 군의 직접곱의 부분군에 관한 결과를 적용하기 위해.
• 충실한 호모모르피즘이 아벨화와 하이퍼볼릭 2-오비폴드의 오비폴드 기본군으로 분해된다는 사실을 활용하기 위해.
• 오른쪽-모양 아르틴 군이 오른쪽-모양 코크스터 군에 통합될 수 있다는 점을 이용하여 결과를 RAAGs로 확장하기 위해.
• 자리크 조밀성 원리와 단순 리 군에서의 정규 부분군 교차 성질을 이용한 대체 증명 기법을 적용하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 복소 차원이 2 이상인 코컴팩트 복소 하이퍼볼릭 격지가 코크스터 군에 통합될 수 있는가?
• RQ2 카플레르 군이 코크스터 군으로의 호모모르피즘을 갖는다면 어떤 구조적 제약 조건이 발생하는가?
• RQ3 카플레르 군이 코크스터 군이나 오른쪽-모양 아르틴 군과 공통지수를 갖는 조건은 무엇인가?
• RQ4 카플레르 군과 공통지수를 갖는 코크스터 군의 무한 비유클리드 성분이 반드시 표면 군 또는 아벨 군의 유한지수 부분군을 가져야 하는가?
• RQ5 카플레르 군이 표면 군과 아벨 군의 직접곱에 통합될 수 있는 경우, 이 통합이 단일 성분으로 제한될 수 있는가?

주요 결과

• 코크스터 군으로 사상되는 카플레르 군의 유한지수 부분군은 그 아벨화와 유한 개의 하이퍼볼릭 2-오비폴드의 오비폴드 기본군의 곱으로 분해된다.
• 복소 차원 ≥2에서의 코컴팩트 복소 하이퍼볼릭 격지는 어떤 코크스터 군에도 충실한 호모모르피즘을 갖지 못한다.
• 카플레르 군과 공통지수를 갖는 오른쪽-모양 아르틴 군은 유한지수 아벨 군을 가져야 하며, 따라서 스스로 아벨 군이 된다.
• 카플레르 군과 공통지수를 갖는 코크스터 군의 무한 비유클리드 성분은 반드시 표면 군과 동형인 유한지수 부분군을 가져야 한다.
• 카플레르 군은 비아벨 자유군과 아벨 군의 직접곱과 동형일 수 없으며, 이는 일부 직접곱으로의 통합을 배제한다.
• 오른쪽-모양 아르틴 군은 오른쪽-모양 코크스터 군에 통합될 수 있기 때문에 결과가 확장되며, 이러한 군들은 코컴팩트 복소 하이퍼볼릭 격자를 포함할 수 없다.