[논문 리뷰] CP-Semigroups and Dilations, Subproduct Systems and Superproduct Systems: The Multi-Parameter Case and Beyond

Orr Moshe Shalit, Michael Skeide|arXiv (Cornell University)|2020. 03. 11.

semigroups and automata theory인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 Paschke의 GNS 구성법을 사용하여 CP-반군 확장 이론과 산품계열 이론을 일파라미터에서 다중파라미터 및 일반 모노이드 설정으로 확장한다. 마코프 반군이 전방(strict 또는 normal) 확장을 갖는다 하는 것과 그 GNS-하위산품계열이 산품계열에 통합될 수 있을 때 정확히 일치함을 증명하며, 확장의 불변량으로 초산품계열(superproduct systems)을 도입하고, 일파라미터 사례를 초월한 일반화의 한계를 부각시키기 위해 수많은 반례를 제공한다.

ABSTRACT

These notes are the output of a decade of research on how the results about dilations of one-parameter CP-semigroups with the help of product systems, can be put forward to d-parameter semigroups - and beyond. While exisiting work on the two- and d-parameter case is based on the approach via the Arveson-Stinespring correspondence of a CP-map by Muhly and Solel (and limited to von Neumann algebras), here we explore consequently the approach via Paschke's GNS-correspondence of a CP-map by Bhat and Skeide. (A comparison is postponed to Appendix A(iv).) The generalizations are multi-fold, the difficulties often enormous. In fact, our only true if-and-only-if theorem, is the following: A Markov semigroup over (the opposite of) an Ore monoid admits a full (strict or normal) dilation if and only if its GNS-subproduct system embeds into a product system. Already earlier, it has been observed that the GNS- (respectively, the Arveson-Stinespring) correspondences form a subproduct system, and that the main difficulty is to embed that into a product system. Here we add, that every dilation comes along with a superproduct system (a product system if the dilation is full). The latter may or may not contain the GNS-subproduct system; it does, if the dilation is strong - but not only. Apart from the many positive results pushing forward the theory to large extent, we provide plenty of counter examples for almost every desirable statement we could not prove. Still, a small number of open problems remains. The most prominent: Does there exist a CP-semigroup that admits a dilation, but no strong dilation? Another one: Does there exist a Markov semigroup that admits a (necessarily strong) dilation, but no full dilation?

연구 동기 및 목표

• 일파라미터 CP-반군 확장 이론을 산품계열 기반으로 다중파라미터 및 일반 모노이드 색인 반군으로 일반화한다.
• Ore 모노이드 위의 마코프 반군이 전방(전체) 확장을 갖는다 하는 것과 그 GNS-하위산품계열이 산품계열에 통합될 수 있을 때 정확히 일치함을 증명한다.
• 확장의 불변량으로서 초산품계열을 도입하고 분석하며, 하위산품계열과의 차이를 명확히 하고 확장 이론에서의 역할을 명시한다.
• 다중파라미터 설정에서 실패하는 많은 자연스러운 일반화를 식별하고 반례를 제시함으로써 이론의 경계를 명확히 한다.
• 특히 최소성과 강한 확장의 맥락에서 비마코프와 마코프 사례를 연결하는 유니탈라이제이션의 역할을 탐색한다.

제안 방법

• 각 반군 내 CP-사상에 대해 Paschke의 GNS 구성법을 사용하여 대응과 순환 벡터를 부여하고, GNS 자료로부터 하위산품계열을 구성한다.
• 확장과 관련된 산품계열로서 초산품계열을 정의하고 분석하며, 이들이 GNS-하위산품계열을 엄밀히 포함할 수 있음을 보인다.
• 모노이드 위의 산품계열 이론, 특히 단위와 텐서곱의 구조를 적용하여 확장의 대수적 및 위상적 성질을 분석한다.
• 비마코프 CP-반군과 마코프 반군을 연결하기 위해 유니탈라이제이션을 기법으로 도입함으로써 마코프 사례에서 일반 사례로의 결과 이행을 가능하게 한다.
• 반례를 활용하여 많은 자연스러운 함의가 실패함을 보이며, 예를 들어 하위산품계열이 초산품계열에 통합되지 않을 수 있음을 보여준다.
• 바나흐-바나흐 모듈 모듈러 이론과 대응을 활용하여 결과를 보다 일반적인 von Neumann 대수 설정으로 확장하며, 특히 정규 및 전방 확장을 위한 결과를 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 확장을 갖는 CP-반군이 강한 확장도 갖는가?
• RQ2 모든 확장을 갖는 마코프 반군이 (필수적으로 강한) 전방 확장을 갖는가?
• RQ3 알제브라적으로 최소가 아니지만 유니탈라이제이션은 알제브라적으로 최소인 강한 확장이 존재하는가?
• RQ4 C*-대응의 텐서곱은 교차 성질을 갖는가? 즉, 하위산품계열의 교차가 여전히 하위산품계열이 되는가?
• RQ5 초산품계열에 통합되지 않는 비자명한 하위산품계열의 예가 존재하는가?

주요 결과

• Ore 모노이드 위의 마코프 반군은 그 GNS-하위산품계열이 산품계열에 통합될 때에만 전방(strict 또는 normal) 확장을 갖는다.
• 모든 CP-반군의 확장은 관련된 초산품계열을 갖는다. 이 초산품계열이 GNS-하위산품계열을 포함할 때에만 확장은 강하다.
• 확장의 유니탈라이제이션은 핵심 성질을 유지한다: 전방성, 엄격성, 강한 압축 가능성. 유니탈라이제이션의 초산품계열은 원래 확장의 것과 동일한 구조적 특성을 반영한다.
• GNS-하위산품계열이 비연결 가능한(비-adjointable) 예가 존재함을 보여, 이 이론이 표준 힐버트 모듈 기법으로 완전히 축소될 수 없음을 보여준다.
• 반례를 통해 많은 자연스러운 일반화가 다중파라미터 설정에서 실패함을 보여준다. 예를 들어 전방 확장의 존재가 강한 확장을 암시하지는 않으며, 하위산품계열의 교차가 하위산품계열이 되지 않을 수 있음을 보여준다.
• 유니탈라이제이션 이론은 원래 대수와 동형이 아닐지라도 비마코프 사례로의 결과 이행을 가능하게 하며, 마코프 사례에서의 결과를 일반 사례로 이행할 수 있도록 한다.