[논문 리뷰] Cram\'{e}r's moderate deviations for martingales with applications

Xiequan Fan, Qi-Man Shao|arXiv (Cornell University)|2022. 04. 06.

Advanced Harmonic Analysis Research참고 문헌 25인용 수 23

한 줄 요약

이 논문은 조건부 베르누이 조건과 예측 가능 이차변동의 尾집중 조건 하에서 정규화된 마르팅게일 $X_n / \sqrt{\langle X \rangle_n}$ 와 표준화된 마르팅게일 $X_n / \sqrt{\mathbb{E}X_n^2}$ 에 대한 크래머의 중간편차 전개를 수립한다. 핵심 결과는 $x = o(n^{1/6})$ 인 경우 꼬리 확률 $\mathbb{P}(X_n / \sqrt{\langle X \rangle_n} > x)$ 가 표준 정규 꼬리 $1 - \Phi(x)$ 와 渐近적으로 동치임을 보여주며, 고전적인 크래머 결과를 더 넓은 적용 범위를 가진 모델들인 코끼리 랜덤 워크와 자기회귀 과정에까지 확장한다.

ABSTRACT

Let $(\xi_i,\mathcal{F}_i)_{i\geq1}$ be a sequence of martingale differences. Set $X_n=\sum_{i=1}^n \xi_i $ and $ \langle X angle_n=\sum_{i=1}^n \mathbf{E}(\xi_i^2|\mathcal{F}_{i-1}).$ We prove Cram\'er's moderate deviation expansions for $\displaystyle \mathbf{P}(X_n/\sqrt{\langle X angle_n} \geq x)$ and $\displaystyle \mathbf{P}(X_n/\sqrt{ \mathbf{E}X_n^2} \geq x)$ as $n o\infty.$ Our results extend the classical Cram\'{e}r result to the cases of normalized martingales $X_n/\sqrt{\langle X angle_n}$ and standardized martingales $X_n/\sqrt{ \mathbf{E}X_n^2}$, with martingale differences satisfying the conditional Bernstein condition. Applications to elephant random walks and autoregressive processes are also discussed.

연구 동기 및 목표

• 독립 identical 분포를 따르는 합에 대해 알려진 크래머의 고전적 중간편차 결과를 예측 가능 이차변동 $\langle X \rangle_n$ 을 갖는 정규화된 마르팅게일 $X_n / \sqrt{\langle X \rangle_n}$ 의 경우로 확장하기.
• 정규 근사에 의한 꼬리 확률 $\mathbb{P}(X_n / \sqrt{\langle X \rangle_n} > x)$ 의 상대 오차에 대한 정밀한 渐近 전개를 수립하여 표준화된 마르팅게일에 대한 이전 결과를 향상시키기.
• 코끼리 랜덤 워크와 자기회귀 과정과 같이 고전적 린데베르그 조건 또는 조건부 모멘트 조건을 만족하지 못하는 의존적이고 비 i.i.d. 과정에 적용 가능한 프레임워크를 제공하기.
• 제한적인 균일 유계 조건 (1.3) 을 더 자연스러운 尾집중 조건 (1.9) 로 대체하여 더 넓은 적용 가능성을 확보하기.
• 시계열 모델에서 추정기의 중간편차 원리 및 渐近적 신뢰구간을 도출하기, 예를 들어 AR(1) 과정에서의 자기회귀 계수에 대한 것.

제안 방법

• 조건 (A1) 과 (A2) 를 도입: (A1) 은 마르팅게일 차이의 고차 조건부 모멘트에 대한 조건부 베르누이 조건; (A2) 는 예측 가능 이차변동 $\langle X \rangle_n$ 이 그 기댓값에서 벗어남에 대한 서브-가우시안 꼬리 유계.
• 마르팅게일 중심극한정리 기법과 지수 모멘트 유계를 사용하여 정규화된 마르팅게일 $X_n / \sqrt{\langle X \rangle_n}$ 의 촐레지너 생성 함수를 제어하기.
• 가르트너-엘리스 정리의 일종을 적용하고 지수 기울임을 사용하여 꼬리 확률의 로그에 대한 중간편차 전개를 도출하기.
• 핵심 부등식 (정리 2.1) 을 수립하여 $\left| \ln \mathbb{P}(X_n / \sqrt{\langle X \rangle_n} > x) - \ln(1 - \Phi(x)) \right|$ 를 $x^3(\epsilon_n + \delta_n)$ 와 $\delta_n |\ln \delta_n| + \epsilon_n |\ln \epsilon_n|$ 항들로 유계화하기.
• 이 전개를 사용하여 $x = o(n^{1/6})$ 인 경우 $\mathbb{P}(X_n / \sqrt{\langle X \rangle_n} > x) \sim 1 - \Phi(x)$ 를 도출함으로써 고전적 크래머 결과를 마르팅게일로 확장하기.
• 두 가지 구체적 모델에 결과를 적용: 장기적 의존성을 갖는 코끼리 랜덤 워크와 AR(1) 과정; 새로운 조건 하에서 꼬리 근사가 성립함을 보여주기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 i.i.d. 합에 대해 알려진 크래머의 중간편차 전개를 더 약한 모멘트 및 집중 조건 하에서 정규화된 마르팅게일 $X_n / \sqrt{\langle X \rangle_n}$ 으로 확장할 수 있는가?
• RQ2 조건부 모멘트와 이차변동의 집중에 대해 어떤 조건이 꼬리 확률 $\mathbb{P}(X_n / \sqrt{\langle X \rangle_n} > x)$ 가 표준 정규 꼬리 $1 - \Phi(x)$ 와 渐진적으로 동치가 되도록 보장하는가?
• RQ3 중간편차 전개의 유효 범위가 고전적 i.i.d. 경우와 비교해 어떻게 되며, $x = o(n^{1/6})$ 까지 연장될 수 있는가?
• RQ4 고전적 린데베르그 조건이 실패하는 비 i.i.d. 과정들인 코끼리 랜덤 워크와 자기회귀 과정에 결과를 적용할 수 있는가?
• RQ5 통계적 추론에 대한 함의는 무엇인가? 예를 들어 시계열 모델에서 추정기의 신뢰구간을 구성할 때 어떤가?

주요 결과

• 조건 (A1) 과 (A2) 하에서 $\mathbb{P}(X_n / \sqrt{\langle X \rangle_n} > x)$ 의 정규 근사에서의 상대 오차는 $c\left( x^3(\epsilon_n + \delta_n) + (1+x)(\delta_n |\ln \delta_n| + \epsilon_n |\ln \epsilon_n|) \right)$ 로 유계화되며, 여기서 $\epsilon_n, \delta_n \to 0$ 이다. $n \to \infty$ 일 때.
• $x = o(n^{1/6})$ 인 경우 꼬리 확률은 $\mathbb{P}(X_n / \sqrt{\langle X \rangle_n} > x) = 1 + o(1)$ 를 만족하며, 이는 i.i.d. 수열에 대한 고전적 크래머 결과와 일치한다.
• 전개 (1.10) 은 정규화된 마르팅게일 뿐만 아니라 동일한 조건 하에서 표준화된 마르팅게일 $S_n / \sqrt{n\sigma^2}$ 에 대해서도 성립하며, 이는 이전 결과를 확장한다.
• 결과는 코끼리 랜덤 워크에 적용되었으며, 조건부 베르누이 조건과 이차변동의 집중이 확인되었고, $x = o(n^{1/6})$ 인 경우 중간편차 전개가 성립한다.
• AR(1) 과정에 대해서는 최소제곱 추정기 $\hat{\theta}_n$ 에 대해 중간편차 원리가 도출되었으며, 渐진적 신뢰도 $1 - \kappa_n$ 을 갖는 신뢰구간 $[A_n, B_n]$ 이 구성되었다.
• 자기회귀 계수 $\theta$ 에 대한 渐진적 신뢰구간 $[A_n, B_n]$ 은 너비가 $o(n^{1/6})$ 이며, 중간편차 스케일링과 일치함을 보였다.