[논문 리뷰] Crandall-Lions Viscosity Solutions for Path-Dependent PDEs: The Case of Heat Equation

Andrea Cosso, Francesco Russo|arXiv (Cornell University)|2019. 11. 29.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 70인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 Crandall-Lions 정신에 따라 경로에 의존하는 PDE에 대한 점성 해법 이론을 수립하며, 주로 경로에 의존하는 열 방정식을 다룬다. 일반 조건 하에서 기능적 Itô 공식을 통해 존재성을 증명하고, 새로운 매끄러운 게이지 함수와 Ekeland의 원리의 변형을 사용하여 유일성을 입증함으로써, 고전적인 점성 이론을 경로에 의존하는 설정으로 확장한다. 수평/수직 도함수를 포함한다.

ABSTRACT

We address our interest to the development of a theory of viscosity solutions {à} la Crandall-Lions for path-dependent partial differential equations (PDEs), namely PDEs in the space of continuous paths C([0, T ]; R^d). Path-dependent PDEs can play a central role in the study of certain classes of optimal control problems, as for instance optimal control problems with delay. Typically, they do not admit a smooth solution satisfying the corresponding HJB equation in a classical sense, it is therefore natural to search for a weaker notion of solution. While other notions of generalized solution have been proposed in the literature, the extension of the Crandall-Lions framework to the path-dependent setting is still an open problem. The question of uniqueness of the solutions, which is the more delicate issue, will be based on early ideas from the theory of viscosity solutions and a suitable variant of Ekeland's variational principle. This latter is based on the construction of a smooth gauge-type function, where smooth is meant in the horizontal/vertical (rather than Fr{é}chet) sense. In order to make the presentation more readable, we address the path-dependent heat equation, which in particular simplifies the smoothing of its natural "candidate" solution. Finally, concerning the existence part, we provide a new proof of the functional It{ô} formula under general assumptions, extending earlier results in the literature.

연구 동기 및 목표

• Crandall-Lions 스타일의 점성 해법 프레임워크를 경로에 의존하는 PDE에 대해 개발함으로써, 아직 해결되지 않은 문제에 도전한다.
• 지연을 동반하는 최적 제어 문제에서 발생하는 경로에 의존하는 PDE에 대한 고전적 해의 부재를 해결한다.
• 수평/수직 의미에서의 매끄러운 게이지 함수를 사용한 Ekeland의 변분 원리의 변형을 통해 유일성을 확립한다.
• 일반적인 가정 하에서 기능적 Itô 공식을 사용하여 점성 해의 존재성을 입증한다.
• 모델 사례로 경로에 의존하는 열 방정식을 중심으로 분석을 단순화한다.

제안 방법

• 연속 경로 공간 C([0,T];ℝd)에서 PDE를 정의하기 위해 수평 도함수 ∂tH와 수직 도함수 ∂xxV를 사용한다.
• 일반 조건 하에서 기능적 Itô 공식을 적용하여 점성 해의 존재성을 확립한다.
• 수평/수직 의미에서의 매끄러운 게이지 함수 유형을 도입하여 Ekeland의 변분 원리를 사용한 유일성 증명을 가능하게 한다.
• 경로에 의존하는 설정에 맞게 조정된 Ekeland의 원리의 변형을 활용하며, 경로 도함수의 유한차원 성격을 이용한다.
• 시간 평균 경로 투영과 기저 함수를 사용하여 C([0,T];ℝd) 내의 컴팩트 집합 K̃을 구성함으로써 균일 연속성을 보장한다.
• Cantor의 대각선 논법과 계수의 수렴을 활용하여 이미지 집합의 상대 컴팩트성을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Crandall-Lions 점성 해법 이론은 연속 경로 공간에서 경로에 의존하는 PDE로 확장될 수 있는가?
• RQ2 고전적 매끄러움 조건이 실패할 경우 경로에 의존하는 PDE의 점성 해의 유일성은 어떻게 확립할 수 있는가?
• RQ3 수평 도함수와 수직 도함수는 경로에 의존하는 PDE의 정의와 해법에 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 일반적인 가정 하에서 기능적 Itô 공식을 유도할 수 있는가? 이를 통해 해의 존재성을 뒷받침할 수 있는가?
• RQ5 매끄러운 게이지 함수를 사용하여 Ekeland의 변분 원리는 어떻게 경로에 의존하는 설정에 적응시킬 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 경로에 의존하는 PDE에 대해 Crandall-Lions 프레임워크 내 점성 해법 이론을 수립하여 오랫동안 남아있던 열린 문제를 해결한다.
• 수평/수직 의미에서의 매끄러운 게이지 함수를 사용한 Ekeland의 변분 원리의 새로운 적용을 통해 점성 해의 유일성이 입증된다.
• 일반적인 가정 하에서 기능적 Itô 공식을 사용하여 점성 해의 존재성이 확립되며, 이는 이전 결과를 확장한다.
• 경로에 의존하는 열 방정식은 브라운 운동을 사용한 시간 이동 초기 경로를 갖는 Feynman-Kac 표현을 만족하는 점성 해를 갖는다.
• 이미지 집합의 상대 컴팩트성에 기반하여, 해는 C([0,T];ℝd)의 컴팩트 부분집합에서 균일 연속임을 보였다.
• K̃의 구성은 종단 조건 ξ의 균일 연속성을 보장하며, 이는 유일성 증명에 필수적이다.