[논문 리뷰] Crank-Nicolson scheme for stochastic differential equations driven by fractional Brownian motions

Yaozhong Hu, Yanghui Liu외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 09. 05.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 19인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 히르스트 매개수 $ H \in (\frac{1}{2}, 1) $를 가진 다차원 분수 브라운 운동(fBm)에 의해 구동되는 확률미분방정식(SDEs)에 대한 크랭크-니콜슨 스킴을 분석한다. 차원과 드리프트의 영향을 고려하여 정확한 수렴 속도를 규명한다: 영이 아닌 드리프트를 가진 1차원 SDE의 경우 $ n^{-2H} $, 비영인 드리프트가 존재할 경우 $ n^{-\frac{1}{2}-H} $, 일반적인 $ m>1 $ 경우는 $ n^{\frac{1}{2}-2H} $이며, 이 경우의 극한 오차 분포는 원래의 fBm와 독립적인 브라운 운동에 의해 구동되는 선형 SDE에 의해 결정된다.

ABSTRACT

We study the Crank-Nicolson scheme for stochastic differential equations (SDEs) driven by multidimensional fractional Brownian motion $(B^{1}, \dots, B^{m})$ with Hurst parameter $H \in (\frac 12,1)$. It is well-known that for ordinary differential equations with proper conditions on the regularity of the coefficients, the Crank-Nicolson scheme achieves a convergence rate of $n^{-2}$, regardless of the dimension. In this paper we show that, due to the interactions between the driving processes $ B^{1}, \dots, B^{m} $, the corresponding Crank-Nicolson scheme for $m$-dimensional SDEs has a slower rate than for the one-dimensional SDEs. Precisely, we shall prove that when $m=1$ and when the drift term is zero, the Crank-Nicolson scheme achieves the exact convergence rate $n^{-2H}$, while in the case $m=1$ and the drift term is non-zero, the exact rate turns out to be $n^{-\frac12 -H}$. In the general case when $m>1$, the exact rate equals $n^{\frac12 -2H}$. In all these cases the limiting distribution of the leading error is proved to satisfy some linear SDE driven by Brownian motions independent of the given fractional Brownian motions.

연구 동기 및 목표

• 히르스트 매개수 $ H > \frac{1}{2} $를 가진 다차원 분수 브라운 운동(fBm)에 의해 구동되는 SDE에 대한 크랭크-니콜슨 스킴의 수렴 행동을 조사하는 것.
• 스칼라 경우에서 관찰된 수렴 속도가 다차원 설정으로까지 확장되는지 여부를 확인하는 것.
• 다차원 설정에서 정확한 수렴 속도를 규명하고 주요 오차 항의 극한 분포를 특성화하는 것.
• 드리프트 항과 다중 fBm 성분 간의 상호작용이 스킴의 수렴에 미치는 영향을 분석하는 것.

제안 방법

• 크랭크-니콜슨 스킴은 $ X^{n}_{t_{k+1}} = X^{n}_{t_{k}} + \frac{1}{2}[V(X^{n}_{t_{k+1}}) + V(X^{n}_{t_{k}})](B_{t_{k+1}} - B_{t_{k}}) $로 정의되며, 시간 분할은 $ t_k = kT/n $이다.
• 분수 브라운 운동의 거친 경로와 비 마코프 성질을 다루기 위해 마리얀 캘큘러스와 분수 미적분학을 활용한다.
• 진짜 해와 수치 근사 사이의 오차를 분해하기 위해 도스-수스만 표현식과 곱셈 법칙 항등식을 사용한다.
• 반복 적분의 $ \beta $-홀더 노름과 fBm 증분, 도함수 항의 $ L^p $-노름을 이용해 핵심 추정치를 도출한다.
• 정규화된 오차의 극한 분포는 원래의 fBm와 독립적인 브라운 운동에 의해 구동되는 선형 SDE를 만족함을 보였다.
• 오차를 다수의 구성요소로 분해하고, 흐름의 변동성에 대한 추정과 지수 모멘트를 이용해 $ L^p $-노름을 유계화함으로써 증명을 완성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 히르스트 매개수 $ H > \frac{1}{2} $를 가진 다차원 SDE에 대해 크랭크-니콜슨 스킴이 수렴하는가? 그리고 스칼라 경우와 동일한 속도를 갖는가?
• RQ2 다중 fBm 성분과 비영인 드리프트가 존재할 경우 크랭크-니콜슨 스킴의 정확한 수렴 속도는 무엇인가?
• RQ3 다중 fBm 성분 간의 상호작용은 1차원 경우와 비교해 수렴 속도에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 이러한 SDE에 대해 크랭크-니콜슨 스킴의 주요 오차 항의 극한 분포는 무엇인가?

주요 결과

• 영 드리프트를 가진 1차원 SDE의 경우, 크랭크-니콜슨 스킴은 정확한 수렴 속도 $ n^{-2H} $를 달성한다.
• 비영 드리프트가 존재하는 1차원 경우, 정확한 수렴 속도는 $ n^{-\frac{1}{2}-H} $이다.
• 일반적인 $ m>1 $ 경우, 정확한 수렴 속도는 $ n^{\frac{1}{2}-2H} $이며, 이는 1차원 영 드리프트 경우보다 느린 속도이다.
• 정규화된 오차 과정 $ n^{\text{rate}+1}(X - X^n) $의 극한 분포는 원래의 fBm와 독립적인 브라운 운동에 의해 구동되는 선형 SDE를 만족하는 비퇴화한 극한으로 약한 수렴한다.
• 다중 fBm 성분 간의 상호작용로 인해 고전적인 결정론적 ODE에서 관찰되는 $ n^{-2} $ 속도보다 수렴 속도가 느려진다.
• 분석은 수렴 속도가 $ n^{\frac{1}{2}-2H} $임을 확인하지만, 이는 드리프트와 차원에 대한 특정 조건 하에서만 성립한다.